Câu hỏi 18
Một đa thức là monic nếu hệ số hàng đầu của nó là $1$. Hai đa thức $p(x)$ và $q(x)$ đi lại nếu $p(q(x)) = q(p(x))$. (1) Tìm tất cả các đa thức monic có độ $3$ trở xuống đi làm với $x^2 - k$. (2) Cho một đa thức monic $p(x)$, chứng tỏ rằng có nhiều nhất một đa thức monic có độ $n$ đi kèm với $p(x)^2$. (3) Tìm các đa thức được mô tả trong (2) cho $n = 4$ và $n = 8$. (4) Nếu $q(x)$ và $r(x)$ là các đa thức monic mà cả hai đều đi cùng với $p(x)^2$, hãy hiển thị rằng $q(x)$ và $r(x)$ đi làm. (5) Chứng minh rằng có một dãy đa thức $p_2(x), p_3(x), \ldots$ sao cho $p_2(x) = x^2 - 2$, $p_n(x)$ có độ $n$ và tất cả các đa thức trong dãy đi làm.