MathNet 1971 — Phần 01

Một đa giác $P$ có tâm được ghi là $O$. Nếu một đường chia $P$ thành hai đa giác có diện tích bằng nhau và chu vi bằng nhau, chứng tỏ rằng nó phải đi qua $O$.

Các đường vuông góc bằng nhau chia một mảnh giấy lớn thành các ô vuông đơn vị. Hình vuông $N$ có màu đen. Cho thấy rằng bạn luôn có thể cắt ra một bộ giấy vuông rời rạc, để tất cả các ô vuông màu đen được loại bỏ và diện tích màu đen của mỗi mảnh nằm giữa $1/5$ và $4/5$ của tổng diện tích của nó.

$n$ là số nguyên dương. $S$ là bộ của tất cả các bộ ba $(a, b, c)$ sao cho $1 \leq a, b, c \leq n$. Tập hợp con nhỏ nhất $X$ của bộ ba sao cho mọi thành viên của $S$ người ta có thể tìm thấy một thành viên của $X$ chỉ khác nhau ở một vị trí. [Ví dụ, đối với $n = 2$, người ta có thể lấy $X = \{ (1, 1, 1), (2, 2, 2) \}$.]

(1) Người chơi $A$ ghi ra hai hàng $10$ số nguyên dương, một hàng dưới cái kia. Các số phải được chọn để nếu $a$ nằm dưới $b$ và $c$ thuộc $d$ thì $a + d = b + c$. Người chơi $B$ được phép hỏi danh tính số ở hàng $i$, cột $j$. Anh ta phải hỏi bao nhiêu câu hỏi để chắc chắn xác định tất cả các con số? (2) Một mảng $m \times n$ của các số nguyên dương được viết trên bảng đen. Nó có thuộc tính cho bốn số bất kỳ $a$, $b$, $c$, $d$ với $a$ và $b$ trong cùng một hàng, $c$ và $d$ trong cùng một hàng, $a$ trên $c$ (trong cùng một cột) và $b$ trên $d$ (trong cùng một cột) chúng tôi có $a + d = b + c$. Nếu một số con số bị xóa sạch, thì phải để lại bao nhiêu số để bàn được khôi phục chính xác?

Chứng minh rằng chúng ta có thể tìm thấy một số chia hết cho $2^{n}$ có biểu diễn thập phân chỉ sử dụng các chữ số $1$ và $2$.

Bạn được cho ba số nguyên dương. Một động thái bao gồm thay thế $m \leq n$ bởi $2m$, $n - m$. Chứng minh rằng bạn luôn có thể thực hiện một loạt các bước di chuyển dẫn đến việc một trong các số nguyên trở thành 0. [Ví dụ, nếu bạn bắt đầu với $4, 5, 10$, thì bạn có thể nhận được $8, 5, 6$, sau đó $3, 10, 6$, sau đó $6, 7, 6$, sau đó $0, 7, 12$. ]

(1) $A_1A_2A_3$ là tam giác. Điểm $B_1$, $B_2$, $B_3$ được chọn lần lượt trên $A_1A_2$, $A_2A_3$, $A_3A_1$ và điểm $D_1$, $D_2$, $D_3$ trên $A_3A_1$, $A_1A_2$, $A_2A_3$ tương ứng, để nếu Hình bình hành $A_iB_iC_iD_i$ được hình thành, sau đó các dòng $A_iC_i$ đồng tình. Chứng minh rằng $A_1B_1 : A_2B_2 : A_3B_3 = A_1D_1 : A_2D_2 : A_3D_3$. (2) $A_1A_2\ldots A_n$ là đa giác lồi. Điểm $B_i$ được chọn trên $A_iA_{i + 1}$ (nơi chúng tôi lấy $A_{n + 1}$ có nghĩa là $A_1$) và điểm $D_i$ trên $A_{i - 1}A_i$ (nơi chúng tôi lấy $A_0$ có nghĩa là $A_n$) sao cho nếu hình bình hành $A_iB_iC_iD_i$ được hình thành, thì các dòng $n$ $A_iC_i$ Đồng tình. Chứng minh rằng $\prod A_iB_i = \prod A_iD_i$.

Viết một số nguyên tại mỗi đỉnh của một đa giác đều $n$. Mỗi lần thực hiện phép biến đổi, chọn bốn đỉnh liên tiếp mang các số $a$, $b$, $c$, $d$ theo thứ tự đó, sao cho $(a - d)(b - c) \lt 0$, rồi đổi chỗ $b$ và $c$. Chứng minh rằng chỉ có thể thực hiện hữu hạn phép biến đổi. Ví dụ, một dãy phép biến đổi có thể là:

| 1 | 7 | 2 | 3 | 5 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 7 | 3 | 5 | 4 |
| 1 | 2 | 3 | 7 | 5 | 4 |
| 1 | 2 | 3 | 5 | 7 | 4 |
| 2 | 1 | 3 | 5 | 7 | 4 |

Một công tắc có hai đầu vào $1$, $2$ và hai đầu ra $1$, $2$. Nó hoặc kết nối $1$ với $1$ và $2$ với $2$, hoặc $1$ đến $2$ và $2$ đến $1$. Nếu bạn có ba đầu vào $1$, $2$, $3$ và ba đầu ra $1$, $2$, $3$, sau đó bạn có thể sử dụng ba công tắc, đầu tiên trên $1$ và $2$, sau đó là công tắc thứ hai trên $2$ và $3$, và Cuối cùng là thứ ba trên $1$ và $2$. Thật dễ dàng để kiểm tra xem điều này cho phép đầu ra là bất kỳ hoán vị nào của các đầu vào và ít nhất ba công tắc được yêu cầu để đạt được điều này. Số lượng công tắc tối thiểu cần thiết cho đầu vào $4$ là bao nhiêu, để bằng cách đặt các công tắc một cách phù hợp, đầu ra có thể là bất kỳ sự hoán vị nào của các đầu vào?

Các số thực $a$, $b$, $A$, $B$ thỏa mãn $$(B - b)^2 \lt (A - a)(Ba - Ab).$$ cho thấy rằng các bậc hai $x^2 + ax + b = 0$ và $x^2 + Ax + B = 0$ có gốc thực và giữa các gốc của mỗi có một gốc của cái kia.

Hình chiếu của một vật trên hai mặt phẳng là hình tròn. Chứng minh rằng các vòng tròn có cùng bán kính.

$A$ và $B$ là các đỉnh liền kề của $12$-GON. Vertex $A$ được đánh dấu $-$ và các đỉnh khác được đánh dấu $+$. Bạn được phép thay đổi dấu hiệu của bất kỳ các đỉnh liền kề $n$. Cho thấy rằng bằng một loạt các chiêu thức này với $n = 6$, bạn không thể nhận được $B$ được đánh dấu $-$ và các đỉnh khác được đánh dấu $+$. Chứng minh rằng điều tương tự là đúng nếu tất cả các di chuyển đều có $n = 3$ hoặc nếu tất cả các di chuyển đều có $n = 4$.

Các vòng tròn, mỗi vòng có bán kính nhỏ hơn $R$, được vẽ bên trong một mặt vuông $1000R$. Không có điểm nào trên các vòng tròn khác nhau cách nhau một khoảng $R$. Chứng minh rằng tổng diện tích được bao phủ bởi các vòng tròn không vượt quá $340,000 R^2$.

Cho bất kỳ tập hợp $S$ nào của số nguyên dương $25$, hãy chứng tỏ rằng bạn luôn có thể tìm thấy hai số sao cho không có số nào khác bằng tổng hoặc hiệu của chúng.

Cho $f(x, y) = x^2 + x y + y^2$. Cho thấy rằng với bất kỳ $x$ thực sự nào, $y$ người ta luôn có thể tìm thấy số nguyên $m$, $n$ sao cho $f(x - m, y - n) \leq 1/3$. Kết quả tương ứng là gì nếu $f(x, y) = x^2 + a x y + y^2$ với $0 \leq a \leq 2$?