Câu hỏi 5
Giả sử $n$ là một số nguyên dương và $\mathbb{R}^n$ là tập hợp các bộ số thực $n$ có thứ tự. Đặt $T$ biểu thị tập hợp $(x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ tồn tại hoán vị $\sigma$ của $1, 2, \dots, n$ sao cho $x_{\sigma(i)} - x_{\sigma(i+1)} \ge 1$ cho mỗi $1 \le i \lt n$. Chứng minh tồn tại số thực $d$ thỏa mãn điều kiện:
Với mọi $(a_1, a_2, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^n$, tồn tại $(b_1, b_2, \dots, b_n)$, $(c_1, c_2, \dots, c_n) \in T$ sao cho
$$
a_i = \frac{1}{2}(b_i + c_i), \quad |a_i - b_i| \le d, \quad |a_i - c_i| \le d \quad (1 \le i \le n).
$$
Với mọi $(a_1, a_2, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^n$, tồn tại $(b_1, b_2, \dots, b_n)$, $(c_1, c_2, \dots, c_n) \in T$ sao cho
$$
a_i = \frac{1}{2}(b_i + c_i), \quad |a_i - b_i| \le d, \quad |a_i - c_i| \le d \quad (1 \le i \le n).
$$