MathNet 2014

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh
$$3(a+b+c)\ge8\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}.$$

Tìm tất cả hàm $f:\mathbb N\to\mathbb N$ sao cho với mọi $m,n\in\mathbb N$,
$$m^2+f(n)\mid mf(m)+n.$$

Trong tam giác $ABC$, lấy $D\in BC$ sao cho $AD$ là phân giác trong của $\angle BAC$, và gọi $M$ là trung điểm $AD$. Đường tròn $\omega_1$ đường kính $AC$ cắt $BM$ tại $E$; đường tròn $\omega_2$ đường kính $AB$ cắt $CM$ tại $F$. Chứng minh $B,E,F,C$ đồng viên.

Natalie có một bản sao của đoạn đơn vị $[0,1]$ được tô trắng và một bút màu đen. Cô tô đoạn như sau: mỗi bước chọn ngẫu nhiên đều một giá trị $x\in[0,1]$, rồi:

a. Nếu $x\le\frac12$, tô đoạn $[x,x+\frac12]$ bằng bút.

b. Nếu $x\gt\frac12$, tô các đoạn $[x,1]$ và $[0,x-\frac12]$ bằng bút.

Kỳ vọng của số bước Natalie cần để tô đen toàn bộ đoạn là bao nhiêu?

Gọi $\mathbb Z,\mathbb N_0$ lần lượt là tập số nguyên và số nguyên không âm. Tìm tất cả hàm tăng $f:\mathbb N_0\to\mathbb Z$ thỏa mãn
$$f(2)=7,\qquad f(mn)=f(m)+f(n)+f(m)f(n)\quad(m,n\in\mathbb N_0).$$

Cho số nguyên dương $n$ và các số thực tùy ý $a_1,\ldots,a_{n-1}$. Xác định $u_0,\ldots,u_n$ và $v_0,\ldots,v_n$ bởi $u_0=u_1=v_0=v_1=1$ và, với $k=1,\ldots,n-1$,
$$u_{k+1}=u_k+a_ku_{k-1},\qquad v_{k+1}=v_k+a_{n-k}v_{k-1}.$$
Chứng minh $u_n=v_n$.

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x^2-xy+2y^2=8$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $x^2+xy+2y^2$.

Tìm tất cả số tự nhiên $n$ có tính chất: với mọi số nguyên tố $p\lt n$, số $n-\left\lfloor n/p\right\rfloor p$ không chia hết cho bình phương của bất kì số tự nhiên nào lớn hơn $1$.

Một bộ $8056$ lá bài có $2014$ hạng được đánh số từ $1$ đến $2014$. Mỗi hạng có bốn chất: cơ, rô, chuồn và bích. Mỗi lá có một hạng và một chất, không có hai lá nào cùng cả hạng lẫn chất. Có bao nhiêu tập con của bộ bài chứa các lá thuộc một số lẻ hạng khác nhau?

Bob viết ngẫu nhiên một chuỗi $5$ chữ cái, mỗi chữ là $A,B,C$ hoặc $D$. Các vị trí được chọn độc lập và bốn chữ có xác suất bằng nhau. Biết chuỗi có ít nhất hai chữ $A$, tìm xác suất chuỗi có ít nhất ba chữ $A$.

Cho điểm $P$ và đường thẳng $\ell$ sao cho khoảng cách từ $P$ đến $\ell$ bằng $12$. Điểm $T$ thuộc $\ell$ thỏa mãn $PT=13$. Tìm bán kính đường tròn đi qua $P$ và tiếp xúc $\ell$ tại $T$.

Có $10$ người muốn lập một ủy ban gồm $5$ người trong số họ. Trước hết họ bầu một nhóm gồm $1,2,3$ hoặc $4$ trưởng ban; nhóm này chọn thêm người trong số còn lại để đủ $5$ thành viên. Có bao nhiêu cách lập ủy ban, coi các người là phân biệt? (Hai ủy ban có cùng thành viên nhưng khác tập trưởng ban được xem là khác nhau.)

Hai đường tròn tâm $O_1,O_2$, bán kính cố định $R_1,R_2$, cắt nhau tại $A,D$. Đường thẳng $L$ qua $D$ cắt lại chúng lần lượt tại $B,C$. Khoảng cách giữa hai tâm và đường thẳng $L$ đều được phép thay đổi. Tìm $AD$ khi diện tích tam giác $ABC$ lớn nhất.

Một nhà vật lý điên khám phá các hạt gọi là imon. Một số cặp hạt liên đới với nhau, và một hạt có thể liên đới với nhiều hạt khác. Ông có thể thực hiện một trong hai thao tác:
(1) Hủy một hạt liên đới với số lẻ hạt khác.
(2) Nhân đôi toàn bộ họ hạt: tạo bản sao $I'$ của mỗi hạt $I$. Hai bản sao $I',J'$ liên đới khi và chỉ khi $I,J$ liên đới; mỗi $I'$ còn liên đới với $I$. Không có liên đới nào khác xuất hiện hoặc biến mất.
Chứng minh có thể thực hiện một dãy thao tác để cuối cùng không có hai hạt nào liên đới.

Cho $a_i\gt0$, $i=1,\ldots,n$, và $\sum_{i=1}^n a_i=1$. Chứng minh với mọi số nguyên dương $k$,
$$\prod_{i=1}^n\left(a_i^k+\frac1{a_i^k}\right)\ge\left(n^k+\frac1{n^k}\right)^n.$$

Cho số phức $x$ sao cho $x+x^{-1}$ là nghiệm của đa thức $p(t)=t^3+t^2-2t-1$. Tìm mọi giá trị có thể của $x^7+x^{-7}$.

Cho số phức $z$ và số nguyên dương $k$ sao cho $z^k$ là số thực dương khác $1$. Gọi $f(n)$ là phần thực của $z^n$. Giả sử parabol $p(n)=an^2+bn+c$ cắt $f(n)$ tại bốn giá trị $n=0,1,2,3$. Với $k$ nhỏ nhất có thể, tìm giá trị lớn nhất có thể của $a$.

Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$, các điểm $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$. Gọi $W,X,Y,Z$ lần lượt là trực tâm các tam giác $AHE,BEF,CFG,DGH$. Chứng minh các tứ giác $ABCD$ và $WXYZ$ có cùng diện tích.
(Bài toán do Zhonghao Ye đề xuất.)

Mười điểm cách đều nhau trên một đường tròn. Một đồ thị là một tập đoạn thẳng (có thể rỗng) nối các cặp điểm, sao cho mỗi cặp điểm được nối bằng không hoặc một đoạn. Hai đồ thị được xem là như nhau nếu có thể thu được đồ thị này từ đồ thị kia bằng cách sắp xếp lại các điểm.
Gọi $N$ là số đồ thị sao cho với bất kỳ hai điểm, đều có một đường đi từ điểm này đến điểm kia theo các đoạn của đồ thị. Hãy ước lượng $N$. Nếu câu trả lời là số nguyên dương $A$, điểm của bài này là số lớn hơn giữa $0$ và $\lfloor20-5|\ln(A/N)|\rfloor$. Nếu không, điểm bằng $0$.

Cho số tự nhiên $n$ và các số tự nhiên $a_1,\ldots,a_n$. Mở rộng dãy tuần hoàn bằng $a_{n+i}=a_i$ với mọi $i\ge1$. Giả sử:
(i) $a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le a_1+n$.
(ii) $a_{a_i}\le n+i-1$ với $i=1,2,\ldots,n$.
Chứng minh $a_1+a_2+\cdots+a_n\le n^2$.