Raashan, Sylvia và Ted mỗi người bắt đầu với $1$ đồng. Chuông reo cứ $15$ giây một lần. Mỗi lần chuông reo, tất cả những người đang có tiền đồng thời chọn độc lập và ngẫu nhiên một trong hai người kia, rồi cho người đó $1$ đồng.
Xác suất để sau $2019$ lần chuông reo, mỗi người đều có đúng $1$ đồng là bao nhiêu?
Lục giác đều $ABCDEF$ có cạnh $1$. Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là trung điểm $AB,CD,EF$. Tính diện tích lục giác lồi là phần giao của hai tam giác $ACE$ và $XYZ$.
Ba số thực $x,y,z$ được chọn độc lập và đều trong $[0,n]$, với $n$ là số nguyên dương. Gọi $P$ là xác suất để khoảng cách giữa mọi cặp trong ba số đều ít nhất bằng $1$. Biết $P\gt \dfrac12$. Giá trị nhỏ nhất của $n$ là bao nhiêu?
Đặt $T_1$ là tam giác có các cạnh $2011,2012,2013$. Với $n\ge1$, nếu $T_n=\triangle ABC$ và $D,E,F$ là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với $AB,BC,AC$, thì $T_{n+1}$ có các cạnh $AD,BE,CF$, nếu một tam giác như vậy tồn tại. Tính chu vi tam giác cuối cùng trong dãy.
Một con bọ bắt đầu tại một đỉnh của khối lập phương. Khi tới mỗi đỉnh, nó chọn độc lập và ngẫu nhiên một trong ba cạnh xuất phát từ đỉnh ấy, mỗi cạnh có xác suất bằng nhau, rồi đi hết cạnh. Xác suất để sau đúng bảy bước, con bọ đã đi qua cả tám đỉnh, mỗi đỉnh đúng một lần, là bao nhiêu?
Có $11$ lá súng xếp thành hàng, đánh số từ $0$ đến $10$. Một con ếch bắt đầu trên lá số $1$. Khi ở lá $N$, với $0\lt N\lt 10$, nó nhảy sang lá $N-1$ với xác suất $\dfrac N{10}$, hoặc sang lá $N+1$ với xác suất $1-\dfrac N{10}$. Mỗi lựa chọn chỉ phụ thuộc vị trí hiện tại.
Nếu đến lá $0$, ếch bị rắn ăn; nếu đến lá $10$, nó thoát khỏi ao vĩnh viễn. Xác suất để ếch thoát là bao nhiêu?
Jason gieo ba viên xúc xắc công bằng có sáu mặt. Sau khi xem kết quả, Jason chọn một tập các viên để gieo lại, có thể không chọn viên nào hoặc chọn cả ba. Jason thắng khi tổng của ba viên sau lượt này bằng $7$. Jason luôn chọn phương án có xác suất thắng lớn nhất. Xác suất để Jason chọn gieo lại đúng hai viên là bao nhiêu?
Các đường tròn $A,B,C$ tiếp xúc ngoài từng đôi một và cùng tiếp xúc trong với đường tròn $D$. Đường tròn $B,C$ bằng nhau. Đường tròn $A$ có bán kính $1$ và đi qua tâm của $D$. Tìm bán kính đường tròn $B$.
Tam giác $ABC$ có $AB=13$, $BC=14$, $CA=15$. Các điểm phân biệt $D,E,F$ lần lượt nằm trên $BC,CA,DE$, sao cho $AD\perp BC$, $DE\perp AC$, $AF\perp BF$. Viết $DF=\frac mn$ với $m,n$ nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính $m+n$.
Carlos đến cửa hàng thể thao để mua giày chạy bộ. Giày chạy bộ đang được giảm giá với giá giảm $20\%$ cho mỗi đôi giày. Carlos cũng biết rằng anh ấy phải trả $7.5\%$ thuế bán hàng cho mức giá chiết khấu. Anh ấy có $43$ đô la. Giá ban đầu (trước khi giảm giá) của đôi giày đắt nhất mà anh ấy có thể mua được là bao nhiêu?
Xác định $x~\diamondsuit~ y$ là $|x-y|$ cho tất cả các số thực $x$ và $y.$ Giá trị của $$
(1~\diamondsuit~(2~\diamondsuit~3))-((1~\diamondsuit~2)~\diamondsuit~3)?
$$ là bao nhiêu
Giả sử $a$ và $b$ là số thực. Khi đa thức $x^3 + x^2 + ax + b$ được chia cho $x - 1,$ thì số dư là $4.$ Khi đa thức được chia cho $x - 2,$ thì số dư là $6.$ $b - a?$ là gì
Đặt $L_1 = 1,$ $L_2 = 3,$ và $L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$ cho $n \ge 1.$ Có bao nhiêu số hạng trong dãy $L_1,$ $L_2,$ $L_3,$ $\ldots,$ $L_{2023}$ là số chẵn?
Giá trị của số có hai chữ số $\underline{a}\,\underline{b}$ trong cơ số bảy bằng giá trị của số có hai chữ số $\underline{b}\,\underline{a}$ trong cơ số chín. $a + b?$ là gì
Một hình chữ nhật được phân vùng thành các vùng $5$ như được hiển thị. Mỗi vùng phải được sơn một màu đồng nhất—đỏ, cam, vàng, xanh lam hoặc xanh lục—để các vùng tiếp xúc được sơn các màu khác nhau và các màu có thể được sử dụng nhiều lần. Có thể có bao nhiêu cách tô màu khác nhau?
