Câu hỏi 15
Trong tam giác $ABC,$ $AB = 10,$ $BC = 14,$ và $CA = 16.$ Giả sử $D$ là một điểm nằm bên trong $\overline{BC}.$ Giả sử $I_B$ và $I_C$ biểu thị tâm nội tiếp của các tam giác $ABD$ và $ACD,$ tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BI_BD$ và $CI_CD$ gặp nhau tại các điểm phân biệt $P$ và $D.$ Giá trị lớn nhất diện tích của $\triangle BPC$ có thể được biểu diễn dưới dạng $a - b\sqrt{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên dương và $c$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a + b + c.$