Trong số học sinh tham dự bữa tiệc ở trường, $60\%$ trong số học sinh là nữ và $40\%$ trong số học sinh thích khiêu vũ. Sau khi những học sinh này có thêm $20$ học sinh nam, tất cả đều thích khiêu vũ, bữa tiệc bây giờ là $58\%$ nữ. Hiện tại có bao nhiêu học sinh trong bữa tiệc thích khiêu vũ?
Hình vuông $AIME$ có cạnh dài $10$ đơn vị. tam giác cân $GEM$ có đáy $\overline{EM},$ và diện tích chung cho tam giác $GEM$ và hình vuông $AIME$ là $80$ đơn vị vuông. Tìm độ dài đường cao tới $\overline{EM}$ trong $\triangle GEM.$
Ed và Sue đạp xe với tốc độ bằng nhau và không đổi. Tương tự như vậy, họ chạy bộ với tốc độ bằng nhau và không đổi, và họ bơi với tốc độ bằng nhau và không đổi. Ed đi được $74$ km sau khi đạp xe trong $2$ giờ, chạy bộ trong $3$ giờ và bơi trong $4$ giờ, trong khi Sue đi được $91$ km sau khi chạy bộ trong $2$ giờ, bơi trong $3$ giờ và đạp xe trong $4$ giờ. Tốc độ đạp xe, chạy bộ và bơi lội của họ đều là số nguyên km/giờ. Tìm tổng bình phương tốc độ đạp xe, chạy bộ và bơi lội của Ed.
Một hình nón tròn bên phải có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h.$ Hình nón nằm nghiêng trên một bàn phẳng. Khi hình nón lăn trên mặt bàn mà không bị trượt, điểm mà đáy hình nón tiếp xúc với bàn sẽ vẽ một cung tròn có tâm tại điểm mà đỉnh hình nón chạm vào bàn. Đầu tiên, hình nón trở về vị trí ban đầu trên bàn sau khi thực hiện các phép quay hoàn chỉnh $17$. Giá trị của $\frac{h}{r}$ có thể được viết dưới dạng $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$
Một dãy số hình tam giác có hàng đầu tiên bao gồm các số nguyên lẻ $1,$ $3,$ $5,$ $\ldots,$ $99$ theo thứ tự tăng dần. Mỗi hàng bên dưới hàng đầu tiên có ít mục nhập hơn hàng phía trên và hàng dưới cùng có một mục nhập duy nhất. Mỗi mục trong bất kỳ hàng nào sau hàng trên cùng bằng tổng của hai mục theo đường chéo phía trên nó ở hàng ngay phía trên nó. Có bao nhiêu mục trong mảng là bội số của $67?$ $$
\scriptsize\begin{array}{ccccccccccc} 1 & & 3 & & 5 & & \cdots & & 97 & & 99 \\ & 4 & & 8 & & 12 & & \cdots & & 196 & \\ & & & & & \vdots & & & & & \end{array}
$$
Đặt $S_i$ là tập hợp tất cả các số nguyên $n$ sao cho $100i \le n \lt 100(i + 1).$ Ví dụ: $S_4$ là tập hợp $\{400, 401, 402, \ldots, 499\}.$ Có bao nhiêu tập hợp $S_0,$ $S_1,$ $S_2,$ $\ldots,$ $S_{999}$ không chứa số chính phương?
Mười thùng giống hệt nhau, mỗi thùng có kích thước $3$ ft $\times$ $4$ ft $\times$ $6$ ft. Thùng đầu tiên được đặt phẳng trên sàn. Mỗi thùng trong số chín thùng còn lại lần lượt được đặt phẳng lên trên thùng trước đó và hướng của mỗi thùng được chọn ngẫu nhiên. Giả sử $\frac{m}{n}$ là xác suất mà chồng thùng cao chính xác là $41$ ft, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m.$
Giả sử $ABCD$ là một hình cân hình thang với $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$ có góc ở đáy dài hơn $\overline{AD}$ là $\frac{\pi}{3}.$ Các đường chéo có độ dài $10\sqrt{21},$ và điểm $E$ cách nhau một khoảng $10\sqrt{7}$ và $30\sqrt{7}$ từ các đỉnh $A$ và $D,$ tương ứng. Đặt $F$ là chân độ cao từ $C$ đến $\overline{AD}.$ Khoảng cách $EF$ có thể được biểu thị dưới dạng $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ không phải là số nguyên dương chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$
Hãy xem xét các chuỗi bao gồm toàn bộ $A$ và $B$ và có đặc tính là mọi chuỗi $A$ liên tiếp có độ dài chẵn và mọi chuỗi $B$ liên tiếp có độ dài lẻ. Ví dụ về các chuỗi như vậy là $AA,$ $B,$ và $AABAA,$ trong khi $BBAB$ không phải là một chuỗi như vậy. Có bao nhiêu dãy như vậy có độ dài $14?$
Trên đoạn đường dài thẳng tắp của đường cao tốc một làn, tất cả ô tô đều di chuyển với tốc độ như nhau và đều tuân theo quy tắc an toàn: khoảng cách từ phía sau của ô tô phía trước đến phía trước của ô tô phía sau chính xác là một chiều dài ô tô cho mỗi $15$ km/h hoặc một phần tốc độ của nó. (Do đó, phía trước của một ô tô đang di chuyển $52$ kilômét một giờ sẽ bằng bốn chiều dài ô tô phía sau phía sau của ô tô phía trước nó.)
Một con mắt quang điện bên đường đếm số ô tô đi qua trong một giờ. Giả sử rằng mỗi ô tô dài $4$ mét và các ô tô có thể di chuyển với tốc độ bất kỳ, gọi $M$ là số nguyên ô tô tối đa có thể đi qua mắt quang điện trong một giờ. Tìm thương khi $M$ chia cho $10.$
Có một điểm $\left(\frac{a}{c}, \frac{b}{c}\right)$ mà $p\left(\frac{a}{c}, \frac{b}{c}\right) = 0$ cho tất cả các đa thức như vậy, trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương, $a$ và $c$ là các số nguyên tố cùng nhau và $c \gt 1.$ Tìm $a + b + c.$
Cho $\overline{AB}$ là đường kính của đường tròn $\omega.$ Kéo dài $\overline{AB}$ đến $A$ đến $C.$ Điểm $T$ nằm trên $\omega$ sao cho đường thẳng $CT$ tiếp tuyến với $\omega.$ Điểm $P$ là chân đường vuông góc từ $A$ đến đường thẳng $CT.$ Giả sử $AB = 18,$ và đặt $m$ biểu thị độ dài tối đa có thể có của đoạn $BP.$ Tìm $m^2.$
Một mảnh giấy hình vuông có các cạnh có chiều dài $100.$ Từ mỗi góc, một hình nêm được cắt theo cách sau: ở mỗi góc, hai đường cắt cho hình nêm bắt đầu ở khoảng cách $\sqrt{17}$ tính từ góc và chúng gặp nhau trên đường chéo một góc $60^\circ$ (xem hình bên dưới). Sau đó, tờ giấy được gấp lại dọc theo các đường nối các đỉnh của các vết cắt liền kề. Khi hai cạnh của vết cắt gặp nhau, chúng sẽ được dán lại với nhau. Kết quả là một khay giấy có các cạnh không vuông góc với đế. Chiều cao của khay, tức là khoảng cách vuông góc giữa mặt phẳng của đế và mặt phẳng được tạo bởi các cạnh trên, có thể được viết dưới dạng $\sqrt[n]{m},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương, $m \lt 1000,$ và $m$ không phải là chia hết cho $n$ lũy thừa thứ của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$
