AIME II năm 2005

Trò chơi sử dụng một bộ bài gồm $n$ các lá bài khác nhau, trong đó $n$ là một số nguyên và $n \ge 6.$ Số bộ bài $6$ có thể rút được từ bộ bài là $6$ nhân với số bộ bài $3$ có thể rút được. Tìm $n.$

Một khách sạn đã chuẩn bị bữa sáng cho mỗi người trong số ba khách. Mỗi bữa sáng nên bao gồm ba loại bánh cuộn, một loại gồm quả hạch, phô mai và bánh cuộn trái cây. Người chuẩn bị gói chín chiếc bánh, và sau khi gói xong, các cuộn bánh không thể phân biệt được với nhau. Sau đó cô ấy đặt ngẫu nhiên ba cuộn bánh vào túi cho mỗi vị khách. Cho rằng xác suất mà mỗi khách nhận được một cuộn mỗi loại là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố, hãy tìm $m + n.$

Một chuỗi hình học vô hạn có tổng $2005.$ Một chuỗi mới, thu được bằng cách bình phương mỗi số hạng của chuỗi ban đầu, có tổng $10$ nhân với tổng của chuỗi ban đầu. Tỷ lệ chung của chuỗi gốc là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Tìm số số nguyên dương là ước của ít nhất một trong $10^{10},$ $15^7,$ $18^{11}.$

Xác định số cặp có thứ tự $(a, b)$ của các số nguyên sao cho $\log_a b + 6\log_b a = 5,$ $2 \le a \le 2005,$ và $2 \le b \le 2005.$

Các thẻ trong chồng thẻ $2n$ được đánh số liên tục từ $1$ đến $2n$ từ trên xuống dưới. Các thẻ $n$ trên cùng được loại bỏ, giữ theo thứ tự và tạo thành chồng $A.$ Các thẻ còn lại tạo thành chồng $B.$ Các thẻ hiện được xếp lại thành một chồng đồng xu bằng cách lấy các thẻ luân phiên từ đầu chồng $B$ và chồng $A,$ tương ứng. Trong quá trình này, số thẻ $(n + 1)$ là thẻ dưới cùng của chồng đồng xu mới, số thẻ $1$ nằm ở trên thẻ này, v.v., cho đến khi hết cọc $A$ và $B$. Nếu, sau quá trình đóng gói lại, ít nhất một lá bài từ mỗi cọc chiếm cùng vị trí mà nó chiếm trong chồng đồng xu ban đầu, thì chồng đồng xu đó được gọi là *ma thuật*. Ví dụ: tám thẻ tạo thành một chồng đồng xu kỳ diệu vì số thẻ $3$ và số $6$ vẫn giữ nguyên vị trí ban đầu của chúng. Tìm số lượng thẻ trong chồng đồng xu ma thuật mà số thẻ $131$ vẫn giữ nguyên vị trí ban đầu.

Hãy để $$
\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}. \end{aligned}
$$ Tìm $(x + 1)^{48}.$

Các đường tròn $\mathcal{C}_1$ và $\mathcal{C}_2$ là tiếp tuyến ngoài và cả hai đều tiếp tuyến bên trong với đường tròn $\mathcal{C}_3.$ Bán kính của $\mathcal{C}_1$ và $\mathcal{C}_2$ lần lượt là $4$ và $10,$ và tâm của ba đường tròn đều thẳng hàng. Dây cung của $\mathcal{C}_3$ cũng là tiếp tuyến ngoài chung của $\mathcal{C}_1$ và $\mathcal{C}_2.$ Cho rằng độ dài của dây cung là $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là số nguyên dương, $m$ và $p$ là các số nguyên tố cùng nhau, và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào, hãy tìm $m + n + p.$

Với bao nhiêu số nguyên dương $n$ nhỏ hơn hoặc bằng $1000$ là $$
\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= \sin nt + i \cos nt \end{aligned}
$$ đúng với mọi số thực $t?$

Cho rằng $\mathcal{O}$ là một bát diện đều, $\mathcal{C}$ là khối có các đỉnh là tâm của các mặt của $\mathcal{O},$ và tỷ lệ của thể tích của $\mathcal{O}$ so với $\mathcal{C}$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố, tìm $m + n.$

Đặt $m$ là một số nguyên dương và đặt $a_0,$ $a_1,$ $\ldots,$ $a_m$ là một chuỗi các số thực sao cho $a_0 = 37,$ $a_1 = 72,$ $a_m = 0,$ và $$
a_{k+1} = a_{k-1} - \frac{3}{a_k}
$$ cho $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $m - 1.$ Tìm $m.$

Hình vuông $ABCD$ có tâm $O,$ $AB = 900,$ $E$ và $F$ nằm trên $\overline{AB}$ với $AE \lt BF$ và $E$ giữa $A$ và $F,$ $m\angle EOF = 45^\circ,$ và $EF = 400.$ Cho rằng $BF = p + q\sqrt{r},$ trong đó $p,$ $q,$ và $r$ là các số nguyên dương và $r$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào, hãy tìm $p + q + r.$

Cho $P(x)$ là đa thức có hệ số nguyên thỏa mãn $P(17) = 10$ và $P(24) = 17.$ Cho phương trình $P(n) = n + 3$ có hai nghiệm nguyên phân biệt $n_1$ và $n_2,$ tìm tích $n_1 \cdot n_2.$

Trong tam giác $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 15,$ và $CA = 14.$ Điểm $D$ nằm trên $\overline{BC}$ với $CD = 6.$ Điểm $E$ nằm trên $\overline{BC}$ sao cho $\angle BAE \cong \angle CAD.$ Cho rằng $BE = \frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $q.$

Đặt $\omega_1$ và $\omega_2$ lần lượt biểu thị các vòng tròn $x^2 + y^2 + 10x - 24y - 87 = 0$ và $x^2 + y^2 - 10x - 24y + 153 = 0,$. Đặt $m$ là giá trị dương nhỏ nhất của $a$ mà đường thẳng $y = ax$ chứa tâm của đường tròn tiếp tuyến trong với $\omega_1$ và tiếp tuyến ngoài với $\omega_2.$ Cho rằng $m^2 = \frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố, tìm $p + q.$