AIME I năm 2001

Tìm tổng của tất cả các số nguyên dương có hai chữ số là chia hết cho mỗi chữ số của chúng.

Một tập hợp hữu hạn $\mathcal{S}$ gồm các số thực riêng biệt có các thuộc tính sau: trung bình cộng của $\mathcal{S} \cup \{1\}$ là $13$ nhỏ hơn trung bình cộng của $\mathcal{S},$ và trung bình cộng của $\mathcal{S} \cup \{2001\}$ là $27$ lớn hơn trung bình cộng của $\mathcal{S}.$ Tìm trung bình cộng của $\mathcal{S}.$

Tìm tổng các nghiệm thực và không thực của phương trình $$
x^{2001} + \left(\tfrac{1}{2} - x\right)^{2001} = 0,
$$ khi không có nghiệm bội số nào.

Trong tam giác $ABC,$ góc $A$ và $B$ có số đo lần lượt là $60$ độ và $45$ độ. Đường phân giác của góc $A$ cắt $\overline{BC}$ tại $T,$ và $AT = 24.$ diện tích của tam giác $ABC$ có thể được viết dưới dạng $a + b\sqrt{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên dương và $c$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a + b + c.$

Một tam giác đều nội tiếp trong hình elip có phương trình là $x^2 + 4y^2 = 4.$ Một đỉnh của tam giác là $(0, 1),$ một đường cao nằm trong trục $y$ và độ dài mỗi cạnh là $\sqrt{\frac{m}{n}},$ trong đó $m$ và $n$ tương đối nguyên tố số nguyên dương. Tìm $m + n.$

Một con súc sắc công bằng được tung ra bốn lần. xác suất mà mỗi cuộn trong số ba cuộn cuối cùng có kích thước ít nhất lớn bằng cuộn trước nó có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Tam giác $ABC$ có $AB = 21,$ $AC = 22,$ và $BC = 20.$ Điểm $D$ và $E$ lần lượt nằm trên $\overline{AB}$ và $\overline{AC},$ sao cho $\overline{DE}$ song song với $\overline{BC}$ và chứa tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ Khi đó $DE = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Gọi một số nguyên dương $N$ a *$7$–$10$ double* nếu các chữ số của biểu diễn cơ số-$7$ của $N$ tạo thành một số cơ sở-$10$ gấp đôi $N.$ Ví dụ: $51$ là $7$–$10$ gấp đôi vì biểu diễn cơ sở-$7$ của nó là $102.$ Đôi $7$–$10$ lớn nhất là bao nhiêu?

Trong tam giác $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 15,$ và $CA = 17.$ Điểm $D$ nằm trên $\overline{AB},$ $E$ nằm trên $\overline{BC},$ và $F$ nằm trên $\overline{CA}.$ Đặt $AD = p \cdot AB,$ $BE = q \cdot BC,$ và $CF = r \cdot CA,$ trong đó $p,$ $q,$ và $r$ là dương và thỏa mãn $p + q + r = \frac{2}{3}$ và $p^2 + q^2 + r^2 = \frac{2}{5}.$ Tỷ lệ của diện tích của tam giác $DEF$ đến diện tích của tam giác $ABC$ có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Đặt $\mathcal{S}$ là tập hợp các điểm có tọa độ $x,$ $y,$ và $z$ là các số nguyên thỏa mãn $0 \le x \le 2,$ $0 \le y \le 3,$ và $0 \le z \le 4.$ Hai điểm phân biệt được chọn ngẫu nhiên từ $\mathcal{S}.$ The xác suất mà trung điểm của đoạn họ xác định cũng thuộc về $\mathcal{S}$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Trong một mảng điểm hình chữ nhật, với các hàng $5$ và cột $N$, các điểm được đánh số liên tiếp từ trái sang phải bắt đầu từ hàng trên cùng. Do đó, hàng trên cùng được đánh số từ $1$ đến $N,$ hàng thứ hai được đánh số từ $N + 1$ đến $2N,$, v.v. Năm điểm, $P_1,$ $P_2,$ $P_3,$ $P_4,$ và $P_5,$ được chọn sao cho mỗi $P_i$ nằm trong hàng $i.$ Đặt $x_i$ là số được liên kết với $P_i.$ Bây giờ hãy đánh số lại mảng liên tiếp từ trên xuống dưới, bắt đầu từ cột đầu tiên. Đặt $y_i$ là số được liên kết với $P_i$ sau khi đánh số lại.

Người ta thấy rằng $x_1 = y_2,$ $x_2 = y_1,$ $x_3 = y_4,$ $x_4 = y_5,$ và $x_5 = y_3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $N.$

Một hình cầu nội tiếp trong tứ diện có các đỉnh là $A = (6, 0, 0),$ $B = (0, 4, 0),$ $C = (0, 0, 2),$ và $D = (0, 0, 0).$ Bán kính của hình cầu là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Trong một đường tròn nhất định, dây của cung có độ $d$ dài $22$ cm, và dây của cung có độ $2d$ là $20$ cm dài hơn dây cung của cung có độ $3d$, trong đó $d \lt 120.$ Độ dài của dây cung của một cung Cung $3d$-độ là $-m + \sqrt{n}$ cm, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Tìm $m + n.$

Một người đưa thư chuyển thư đến mười chín ngôi nhà ở phía đông Phố Elm. Người vận chuyển lưu ý rằng không có hai ngôi nhà liền kề nào nhận được thư trong cùng một ngày, nhưng không bao giờ có nhiều hơn hai ngôi nhà liên tiếp không nhận được thư trong cùng một ngày. Có thể có bao nhiêu kiểu gửi thư khác nhau?

Các số $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ và $8$ được viết ngẫu nhiên trên các mặt của một bát diện đều để mỗi mặt chứa một số khác nhau. xác suất không có hai số liên tiếp, trong đó $8$ và $1$ được coi là liên tiếp, được viết trên các mặt có chung một cạnh là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$