Câu hỏi 9
Trong tam giác $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 15,$ và $CA = 17.$ Điểm $D$ nằm trên $\overline{AB},$ $E$ nằm trên $\overline{BC},$ và $F$ nằm trên $\overline{CA}.$ Đặt $AD = p \cdot AB,$ $BE = q \cdot BC,$ và $CF = r \cdot CA,$ trong đó $p,$ $q,$ và $r$ là dương và thỏa mãn $p + q + r = \frac{2}{3}$ và $p^2 + q^2 + r^2 = \frac{2}{5}.$ Tỷ lệ của diện tích của tam giác $DEF$ đến diện tích của tam giác $ABC$ có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$