AIME năm 1999

Tìm số nguyên tố nhỏ nhất là số hạng thứ năm của cấp số cộng tăng dần, cả bốn số hạng trước đó cũng là số nguyên tố.

Xét hình bình hành có các đỉnh $(10, 45),$ $(10, 114),$ $(28, 153),$ và $(28, 84).$ Một đường thẳng đi qua gốc tọa độ cắt hình này thành hai đa giác bằng nhau. Độ dốc của đường thẳng là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Tìm tổng của tất cả các số nguyên dương $n$ mà $n^2 - 19n + 99$ là số chính phương.

Hai hình vuông hiển thị có cùng tâm $O$ và có các cạnh dài $1.$ Chiều dài của $\overline{AB}$ là $\frac{43}{99}$ và diện tích của hình bát giác $ABCDEFGH$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Đối với mọi số nguyên dương $x,$ hãy đặt $S(x)$ là tổng các chữ số của $x,$ và đặt $T(x)$ là $|S(x + 2) - S(x)|.$ Ví dụ: $T(199)$ $= |S(201) - S(199)|$ $= |3 - 19|$ $= 16.$ Có bao nhiêu giá trị $T(x)$ không vượt quá $1999?$

Phép biến đổi góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ ánh xạ từng điểm $(x, y)$ thành điểm $(\sqrt{x}, \sqrt{y}).$ Các đỉnh của tứ giác $ABCD$ là $A = (900, 300),$ $B = (1800, 600),$ $C = (600, 1800),$ và $D = (300, 900).$ Đặt $k$ là diện tích của vùng được bao quanh bởi ảnh tứ giác $ABCD.$ Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá $k.$

Có một bộ công tắc $1000$, mỗi công tắc có bốn vị trí, được gọi là $A,$ $B,$ $C,$ và $D.$ Khi vị trí của bất kỳ công tắc nào thay đổi, nó chỉ từ $A$ đến $B,$ từ $B$ đến $C,$ từ $C$ đến $D,$ hoặc từ $D$ đến $A.$ Ban đầu, mỗi công tắc ở vị trí $A.$ Các công tắc được gắn nhãn bằng các số nguyên khác nhau $1000$ $2^x 3^y 5^z,$ trong đó $x,$ $y,$ và $z$ nhận các giá trị $0,$ $1,$ $\ldots,$ $9.$ Tại bước $i$ của Quy trình bước $1000$, công tắc thứ $i$ được nâng cao một bước và tất cả các công tắc khác có nhãn phân chia nhãn trên công tắc thứ $i$ cũng vậy. Sau khi hoàn thành bước $1000$, sẽ có bao nhiêu công tắc ở vị trí $A?$

Giả sử $T$ là tập hợp các bộ ba có thứ tự $(x, y, z)$ gồm các số thực không âm nằm trong mặt phẳng $x + y + z = 1.$ Giả sử rằng $(x, y, z)$ hỗ trợ $(a, b, c)$ khi có chính xác hai trong số những điều sau đây là đúng: $x \ge a,$ $y \ge b,$ $z \ge c.$ Đặt $S$ bao gồm các bộ ba trong $T$ hỗ trợ $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right).$ diện tích của $S$ chia cho diện tích của $T$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Hàm $f$ được xác định trên các số phức bởi $f(z) = (a + bi)z,$ trong đó $a$ và $b$ là các số dương. Hàm này có tính chất là ảnh của mỗi điểm trong mặt phẳng phức cách đều điểm đó và gốc tọa độ. Cho rằng $|a + bi| = 8$ và $b^2 = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $m + n.$

Cho mười điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Bốn đoạn riêng biệt nối các cặp điểm này được chọn ngẫu nhiên, tất cả các đoạn như vậy đều có khả năng như nhau. xác suất mà ba đoạn thẳng tạo thành một tam giác có các đỉnh nằm trong số mười điểm đã cho là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Cho rằng $\sum_{k=1}^{35} \sin 5k = \tan \frac{m}{n},$ trong đó các góc được đo bằng độ và $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối thỏa mãn $\frac{m}{n} \lt 90,$ tìm $m + n.$

Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $\overline{AB}$ tại $P,$ và bán kính của nó là $21.$ Cho rằng $AP = 23$ và $PB = 27,$ tìm chu vi của tam giác.

Bốn mươi đội chơi một giải đấu trong đó mỗi đội đấu với mỗi đội khác đúng một lần. Không có trận hòa nào xảy ra và mỗi đội có $50\%$ cơ hội thắng bất kỳ trận đấu nào mà đội đó chơi. xác suất không có hai đội nào thắng cùng số trận là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $\log_2 n.$

Điểm $P$ nằm bên trong tam giác $ABC$ sao cho các góc $PAB,$ $PBC,$ và $PCA$ đều là bằng nhau. Các cạnh của tam giác có độ dài $AB = 13,$ $BC = 14,$ và $CA = 15,$ và tiếp tuyến của góc $PAB$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Xét tam giác giấy có các đỉnh là $(0, 0),$ $(34, 0),$ và $(16, 24).$ Các đỉnh của tam giác trung điểm là trung điểm của các cạnh của nó. Một hình chóp tam giác được hình thành bằng cách gấp tam giác dọc theo các cạnh của tam giác trung điểm của nó. thể tích của kim tự tháp này là gì?