SMO 2017 - Open - Vòng 1

Cho số thực $x$ sao cho $S=\frac{\sqrt{4-x^2}+\sqrt{x^2-4}}{|x-2|}+(5+x)^{2017}$ là số nguyên. Tìm chữ số hàng đơn vị của $S$.

Tính $\sqrt{17+\sqrt{288}}-\sqrt{7+\sqrt{48}}+\sqrt{17-\sqrt{288}}-\sqrt{7-\sqrt{48}}$.

Nếu $$T=\frac11+\frac1{1+2}+\frac1{1+2+3}+\frac1{1+2+3+4}+\cdots+\frac1{1+2+3+4+\cdots+2016},$$ hãy tính $2017\times T$.

Tìm giá trị $a$ sao cho $\int_0^a[x]\,dx=55$.

Ký hiệu của nguồn: $[t]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $t$.

Trong không gian ba chiều có gốc O, gọi $\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc theo chiều ngược kim đồng hồ thông thường. Hai đường thẳng cắt nhau l, m lần lượt có phương trình $$l:\quad\mathbf r=\mathbf i+2\mathbf j+3\mathbf k+\lambda(\mathbf i+2\mathbf j-2\mathbf k),\quad\lambda\in\mathbb R,$$ và $$m:\quad\mathbf r=4\mathbf i+8\mathbf j-3\mathbf k+\mu(2\mathbf i-\mathbf j+2\mathbf k),\quad\mu\in\mathbb R.$$ Đường thẳng $$\mathbf r=\mathbf i+a\mathbf j+b\mathbf k+\omega(c\mathbf i+\mathbf j),\quad\omega\in\mathbb R$$ cắt l, m và phân giác góc tạo bởi l, m. Tính $|a+b+c|$.

Cho $a=\sqrt7-[\sqrt7]$. Tính $a^2+2\sqrt7+2a$.

Ký hiệu của nguồn: $[t]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $t$.

Có bao nhiêu cách biểu diễn 2017 thành tổng của một hay nhiều số nguyên dương theo thứ tự không giảm, sao cho hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu không quá 1?

Trong tứ giác ABCD đã cho, $BC=CD=BD$, $AB=6$, $AD=8$ và $\angle BAD=30^\circ$. Tìm AC.

Cho tam giác ABC có $AB=AC$, $\angle BAC=120^\circ$. Điểm D trên BC thỏa $BD=10$, $DC=20$. Tìm AD.

Trong tam giác cân ABC, $AB=AC=40$, $BC=20\sqrt3$, và P nằm trên đoạn AB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC cắt đoạn AC tại Q. Giả sử hai tam giác APQ và PBC có cùng bán kính ngoại tiếp. Tìm AQ.

Cho các số dương $a,b,c,d$ thỏa $a+b+c+d=8$ và $$\frac a{b+c+d}+\frac b{a+c+d}+\frac c{a+b+d}+\frac d{a+b+c}=\frac3{10}.$$ Tính $$\frac{80}{b+c+d}+\frac{80}{a+c+d}+\frac{80}{a+b+d}+\frac{80}{a+b+c}.$$

Cho $z_n=\left(-\frac32+\frac{\sqrt3}{2}i\right)^n$, với $i^2+1=0$. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho $|z_{n+1}-z_n|^2>7000$.

Cho tam giác ABC có $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Nếu $b^2=a^2+bc$, $\angle A=30^\circ$, $\angle C=x^\circ$, tìm x.

Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho $1!+2!+\cdots+n!=m^2$ với một số nguyên m.

Tìm số số nguyên n thỏa $1\le n\le2017$ sao cho 323 chia hết $20^n+16^n-3^n-1$.

Có 674 quả táo, 674 quả cam và 674 quả lê cần xếp vào 2 hộp sao cho cả hai hộp đều có đủ 3 loại quả và tích số lượng táo, cam, lê trong hai hộp bằng nhau. Tìm số cách thực hiện.

Gọi S là tập mọi số nguyên x sao cho tồn tại số nguyên y thỏa $2017x^2+(4036x-1)y+2019y^2=0$. Tính tổng mọi phần tử của S.

Cho $f(x)=\sqrt{x^2-10x+314}+\sqrt{x^2+20x+325}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $[f(x)]$ với x thực.

Ký hiệu của nguồn: $[t]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $t$.

Với n nguyên dương, gọi $a_n$ là chữ số hàng đơn vị của tổng $1+2+3+\cdots+n$. Khi đó $a_1=1$, $a_2=3$, $a_3=6$, $a_4=0$. Tìm $a_r$ với $r=2017^{2017}$.

Cho $a_0=5$ và $a_{n+1}a_n=a_n^2+1$ với mọi $n\ge0$. Tìm $[a_{1000}]$.

Ký hiệu của nguồn: $[t]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $t$.