SMO 2010 - Open - Vòng 1

Gọi $S$ là tập mọi số nguyên $n$ sao cho $\dfrac{8n^3-96n^2+360n-400}{2n-7}$ là số nguyên. Tính $\displaystyle\sum_{n\in S}|n|$.

Tìm số thực $x$ lớn nhất sao cho $|x^2-4x-39601|\ge|x^2+4x-39601|$.

Cho $x=\lfloor1^{1/3}\rfloor+\lfloor2^{1/3}\rfloor+\cdots+\lfloor7999^{1/3}\rfloor$. Tính $\lfloor x/100\rfloor$. Ở đây $\lfloor y\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $y$; ví dụ $\lfloor2.1\rfloor=2$, $\lfloor30\rfloor=30$, $\lfloor-10.5\rfloor=-11$.

Tìm số nguyên dương $C$ nhỏ nhất sao cho $6^n/n!\le C$ với mọi số nguyên dương $n$.

Cho dây $CD$ của đường tròn $\Gamma_1$, và đường kính $AB$ của $\Gamma_1$ vuông góc $CD$ tại $N$, với $AN\gt NB$. Đường tròn $\Gamma_2$ tâm $C$, bán kính $CN$, cắt $\Gamma_1$ tại $P,Q$; các đoạn $PQ,CD$ cắt nhau tại $M$. Bán kính $\Gamma_1,\Gamma_2$ lần lượt là $61,60$. Tính $AM$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $\displaystyle\sum_{k=1}^{50}x_k$ trên mọi bộ số dương $x_1,\ldots,x_{50}$ thỏa $\displaystyle\sum_{k=1}^{50}1/x_k=1$.

Tìm tổng các số nguyên dương $p$ sao cho $(x-p)(x-13)+4$ viết được thành $(x+q)(x+r)$ với hai số nguyên phân biệt $q,r$.

Đặt $p_k=1+1/k-1/k^2-1/k^3$ với $k$ nguyên dương. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $p_2p_3\cdots p_n\gt 2010$.

Cho $B$ thuộc đường tròn tâm $O$, đường kính $AC$. Gọi $D,E$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $OAB,OBC$. Biết $\sin\angle BOC=4/5$, $AC=24$, tìm diện tích tam giác $BDE$.

Cho $f(x)=x^3+3x^2+6x+14$ với mọi $x$ thực. Hai số thực $a,b$ thỏa $f(a)=1$, $f(b)=19$. Tính $(a+b)^2$.

Nếu $\cot\alpha+\cot\beta+\cot\gamma=-4/5$, $\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=17/6$, và $\cot\alpha\cot\beta+\cot\beta\cot\gamma+\cot\gamma\cot\alpha=-17/5$, tính $\tan(\alpha+\beta+\gamma)$.

Hình vẽ là bản đồ đường nối hai trung tâm mua sắm $A,B$ trong một thành phố. Mỗi cạnh của ô vuông nhỏ nhất là đoạn đường dài $1\text{ km}$. Các vùng $C,D$ là hai khu dân cư lớn. Tìm số tuyến đường ngắn nhất từ $A$ đến $B$ theo các đường đã vẽ.

Cho $a_1=1$, $a_2=2$, và $a_{n+1}=\dfrac{2n}{n+1}a_n-\dfrac{n-1}{n+1}a_{n-1}$ với $n\ge2$. Biết $a_n\gt 2+2009/2010$ với mọi $n\ge m$, trong đó $m$ nguyên dương. Tìm $m$ nhỏ nhất.

Biết $\sqrt{9-8\sin50^\circ}=a+b\sin c^\circ$ với đúng một bộ ba số nguyên dương $(a,b,c)$ thỏa $0\lt c\lt 90$. Tính $(b+c)/a$.

Nếu $\alpha$ là một nghiệm thực của $x^5-x^3+x-2=0$, tính $[\alpha^6]$, trong đó $[x]$ là số nguyên dương nhỏ nhất không vượt quá $x$.

Một số nguyên dương được gọi là “dễ thương” nếu không viết được thành hiệu của hai số chính phương. Ba số dễ thương đầu tiên là $1,2,4$. Tìm số dễ thương thứ $2010$. Số chính phương ở đây là bình phương của một số nguyên dương; chẳng hạn $1,4,9,16$ là bốn số đầu tiên.

Cho đa thức $f(x)$ bậc $5$. Khi chia lần lượt cho $x-1,x-2,x-3,x-4,x^2-x-1$, đa thức có các số dư $3,1,7,36,x-1$. Tìm bình phương số dư khi chia $f(x)$ cho $x+1$.

Tìm số cặp có thứ tự gồm các số nguyên dương $(a,b)$ thỏa $100(a+b)=ab-100$. Hai cặp $(1,2)$ và $(2,1)$ được coi là khác nhau.

Đặt $p=a^b+b^a$. Nếu $a,b,p$ đều nguyên tố, tìm $p$.

Tính $\displaystyle\sum_{k=1}^{2009}\left\lfloor\frac{11k}{2010}\right\rfloor$, trong đó $\lfloor y\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $y$.