SMO 2006 - Open - Vòng 1

Có bao nhiêu số nguyên nằm giữa $0$ và $10^5$ có tổng các chữ số bằng $8$?

Biết $p$ và $q$ là các số nguyên thỏa mãn phương trình $36x^2-4(p^2+11)x+135(p+q)+576=0$. Tìm giá trị của $p+q$.

Hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa $f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2$ với mọi $x,y\in\mathbb R$. Tính $10f(2006)+f(0)$.

Ba người $A,B,C$ chuyền bóng rổ cho nhau. Tìm số cách chuyền bóng bắt đầu ở $A$ và trở lại $A$ ở lần chuyền thứ $11$. Ví dụ, một dãy chuyền hợp lệ là
$$A\to B\to A\to B\to C\to A\to B\to C\to B\to C\to B\to A.$$

Có $10!$ hoán vị $s_0s_1\cdots s_9$ của $0,1,\ldots,9$. Có bao nhiêu hoán vị thỏa $s_k\ge k-2$ với $k=0,1,\ldots,9$?

Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\mathcal C$ bán kính $1$, với $\angle BAC=60^\circ$. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$. Đường thẳng $AI$ cắt lại $\mathcal C$ tại $D$. Tính độ dài $ID$.

Tìm số chữ số $0$ liên tiếp ở cuối biểu diễn thập phân của $2006!$.

Với mỗi tập hữu hạn khác rỗng $A$ gồm các số thực, gọi $s(A)$ là tổng các phần tử. Có đúng $61$ tập con $A$ gồm ba phần tử của $\{1,\ldots,23\}$ thỏa $s(A)=36$. Tìm số tập con gồm ba phần tử có $s(A)\lt 36$.

Giả sử $f$ thỏa $f(x+x^{-1})=x^6+x^{-6}$ với mọi $x\ne0$. Tính $f(3)$.

Các điểm $A,B,C$ nằm trên đường tròn tâm $O$, bán kính $7$. Đường trung trực của $AB$ cắt đoạn $BC$ tại $P$ và phần kéo dài của $AC$ tại $Q$. Tính $OP\cdot OQ$.

Trong tam giác $ABC$, $AB=AC=1$, và $D,E$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Lấy $P$ trên $DE$. Các đường kéo dài của $BP,CP$ lần lượt cắt $AC,AB$ tại $G,F$. Tính $\dfrac1{BF}+\dfrac1{CG}$.

Trong tam giác $ABC$, $AB=14$, $BC=16$, $AC=26$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, và $D$ thuộc $BC$ sao cho $AD$ phân giác $\angle BAC$. Gọi $P$ là chân đường vuông góc từ $B$ xuống $AD$. Tính $PM$.

Trong tam giác $ABC$, $\angle A=20^\circ$, $\angle C=90^\circ$, điểm $O$ nằm trên $AB$, và $D$ là trung điểm của $OB$. Đường tròn tâm $O$ bán kính $OD$ tiếp xúc cạnh $AC$ tại $T$. Tính số đo $\angle BCD$ theo độ.

Trong tam giác $ABC$, $D,E$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Hai đường $CD,BE$ cắt nhau tại $P$, với $\angle BPC=90^\circ$. Biết $BD=1829$, $CE=1298$. Tính $BC$.

Cho $X=\{1,2,\ldots,17\}$. Tìm số tập con $Y$ của $X$ có số phần tử lẻ.

Tính $400(\cos^5 15^\circ+\sin^5 15^\circ)\div(\cos15^\circ+\sin15^\circ)$.

Tìm số nghiệm thực của phương trình $x^2+\dfrac1{x^2}=2006+\dfrac1{2006}$.

Tìm số nguyên lớn nhất $n$ sao cho $n$ là ước của $a^5-a$ với mọi số nguyên $a$.

Cho $A=\{1,2,\ldots,15\}$ và $B=\{0,1\}$. Tìm số ánh xạ $f:A\to B$ sao cho ít nhất hai phần tử của $A$ có ảnh bằng $1$.

Cho dãy $a_1,a_2,\ldots$ thỏa $a_1=1$, $a_n=10a_{n-1}-1$ với mọi $n\ge2$. Tìm $n$ nhỏ nhất sao cho $a_n\gt 10^{100}$.