IMC 2004 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi cá nhân

Hai đường tròn tâm $O_1,O_2$ cắt nhau tại $A,B$. Các đoạn $AP_1,AP_2$ là đường kính của hai đường tròn. Nhiều nhất bao nhiêu trong sáu điểm này cùng nằm trên một đường tròn?

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ và $a^3+b^3+c^3=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $a+b+c$.

Trong tam giác $ABC$, $AB=30$ cm, $AC=32$ cm. Các điểm $D,E,F,G$ lần lượt nằm trên $AB,AC,AD,AE$, sao cho $BCD,CDE,DEF,EFG,FGA$ có diện tích bằng nhau. Tìm $FD$ theo xentimét.

Biển số gồm bảy chữ số khác nhau, không bắt đầu bằng không. Các khuôn có sẵn là $0,1,2,3,5,7,9$; khuôn chín có thể lật thành sáu, nên một biển không có cả sáu và chín. Những số nhỏ nhất là $1023567,1023576,1023579,\ldots$. Tìm biển số nhỏ thứ bảy nghìn.

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(m,n)$ thỏa mãn $m^2+n^2-16n=2004$?

Có đủ các hình chữ nhật $2\times5$ và $1\times3$. Có bao nhiêu cặp số nguyên $(m,n)$, với $2\le n\le m$, cho hình chữ nhật $m\times n$ không thể ghép kín mà không chồng lấn?

Điền mỗi số nguyên từ một đến chín đúng một lần vào bảng $3\times3$, sao cho tổng ở mỗi bộ bốn ô chứa cùng một chữ cái đều bằng nhau. Tìm số ở ô trung tâm.

Năm người chia $83$ viên kim cương, mỗi người nhận một phần khác nhau. Mười hiệu từng cặp của các phần đều khác nhau. Bất kỳ ba người nào cũng nhận tổng cộng hơn một nửa số kim cương. Phần nhỏ nhất có bao nhiêu viên?

Mười sáu điểm tạo thành mảng $4\times4$. Chọn nhiều điểm nhất sao cho không có ba điểm được chọn là ba đỉnh tam giác cân. Tìm số điểm lớn nhất có thể chọn.

Giáo viên chọn các số nguyên $m,n$ với $2\le m\le n$. Cô chỉ cho Peter biết $mn$, chỉ cho Steven biết $m+n$. Hai bạn đối thoại như sau:

Peter: Tôi không suy ra được tổng.

Steven: Biết điều đó, tôi vẫn không suy ra được tích.

Peter: Biết điều đó, tôi vẫn không suy ra được tổng.

Steven: Bây giờ tôi suy ra được tích. Giả sử cả hai suy luận hoàn hảo, tìm $n-m$.

Ký hiệu $\{y\}$ là phần thập phân của số thực $y$. Có bao nhiêu số thực $x$ thỏa mãn $\{(x+1)^3\}=x^3$?

Với các số thực $x,y,z$, tìm giá trị nhỏ nhất của $x^2+y^2+5z^2-xy-3yz-xz+3x-4y+7z$.

Trong dãy số nguyên dương tăng, các số ở vị trí lẻ là lẻ và ở vị trí chẵn là chẵn. Có bảy dãy như vậy không có số nào vượt bốn: $(1),(3),(1,2),(1,4),(3,4),(1,2,3),(1,2,3,4)$. Có bao nhiêu dãy không có số nào vượt hai mươi?

Tam giác có các cạnh $9,12,15$ cm. Mỗi cạnh chia thành $n$ phần bằng nhau, $n\ge2$. Cộng bình phương khoảng cách từ mọi điểm chia bên trong các cạnh đến đỉnh đối diện. Nếu tổng theo cm$^2$ là số nguyên dương, tìm mọi $n$.

Trong tam giác $ABC$, $BC=a$ cm, $CA=b$ cm, $AB=c$ cm. Các điểm $D,E,F$ lần lượt nằm trên $BC,CA,AB$, với $DE\perp CA$ và $DF\perp AB$. Gọi $P=BE\cap CF$. Nếu $AP\perp BC$, tìm $BD$ theo $a,b,c$.