IMC 2007 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi đội

Điền các số một đến chín, mỗi số đúng một lần, vào chín miền của biểu tượng Olympic đã vẽ, sao cho tổng trong mỗi đường tròn bằng mười bốn.

Mười bốn mảnh giấy xếp chồng như hình. Bắt đầu tại $B$, chuyển sang mảnh kề, kết thúc tại $F$, luân phiên lên mảnh cao hơn và xuống mảnh thấp hơn. Có thể thăm lại và không cần thăm mọi mảnh. Liệt kê một đường đi hợp lệ.

Ghi một đến mười bốn, mỗi số một lần, vào mười bốn giao điểm của ngôi sao bảy cánh, sao cho tổng bốn nhãn trên mỗi đường thẳng bằng nhau.

Một số có ba chữ số có bình phương tận cùng bằng chính ba chữ số đó. Tìm tổng mọi số ba chữ số khác nhau có tính chất này.

Tìm mọi số nguyên dương $m,n$ sao cho $10(m^2+1)=n^2+1$, trong đó $m^2+1$ nguyên tố.

Bốn đội đấu với nhau hai lượt trong sáu ngày, mỗi đội một trận mỗi ngày. Bảng kết quả bị vỡ một phần thành bốn mảnh chỉ in một mặt như hình. Đen là thắng, trắng là thua. Đội nào vô địch?

Bảng $A$ kích thước $3\times3$ chứa một đến chín, mỗi số một lần. Tạo $B$ theo $b_{ij}=|r_i-c_j|$, với $r_i$ là tổng hàng $i$ của $A$, $c_j$ là tổng cột $j$. Bảng $B$ có thể cũng chứa một đến chín, mỗi số một lần không?

Tứ giác lồi $ABCD$ có $AC\perp BD$. Qua trung điểm $M$ của $AB$ vẽ đường vuông góc $CD$; qua trung điểm $N$ của $AD$ vẽ đường vuông góc $CB$. Chứng minh giao điểm hai đường nằm trên $AC$.

Sắp các số nguyên từ một đến $n$, $n\gt 1$, thành hàng sao cho tổng mọi cặp kề nhau là số chính phương. Tìm $n$ nhỏ nhất.

Bàn $8\times8$ đã tô một phần với năm màu: R đỏ, Y vàng, B xanh dương, G xanh lá, W trắng. Hoàn tất sáu mươi bốn ô sao cho các ô cùng màu nối với nhau qua cạnh.