2007 xIMC keystage2-EMIC team

Đường từ $A$ tới $B$ gồm một đoạn lên dốc, một đoạn xuống dốc. Xe lên với $20$ km/h, xuống với $35$ km/h. Đi từ $A$ tới $B$ mất $9$ giờ, về mất $7\frac12$ giờ. Tìm đoạn xuống dốc chiều $A$ tới $B$.

Một bên đường đánh số nhà bằng các số lẻ liên tiếp từ $1$, bên kia bằng các số chẵn liên tiếp từ $2$. Bên chẵn dùng tổng $256$ chữ số, bên lẻ $404$. Tìm hiệu số nhà lẻ lớn nhất và số nhà chẵn lớn nhất.

Hình bình hành $ABCD$ có diện tích $10$, $AB=3$, $BC=5$, $AE=BF=AG=2$, $GH\parallel EF$, các điểm nằm như hình. Tìm diện tích $EFHG$.

Tìm hai số nguyên nhỏ nhất có hiệu $3$, tổng chữ số của mỗi số là bội của $11$.

Ghép hai nguyên tố hai chữ số khác nhau thành số bốn chữ số. Cho một số như vậy chia hết trung bình cộng hai nguyên tố. Chẳng hạn $1317,1713$ không được vì không chia hết cho $15$.

Số $2+2^2+2^3+\cdots+2^{16}$ có bao nhiêu thừa số nguyên tố?

Một bút chì, một tẩy, một vở có tổng giá $100$ đô la. Vở đắt hơn hai bút chì, ba bút chì đắt hơn bốn tẩy, ba tẩy đắt hơn một vở. Tìm giá nguyên dương của từng món.

Có tám cặp số tự nhiên mà tích của tổng và hiệu bằng $1995$. Cặp nào có hiệu lớn nhất?

Mảnh đất $52$ m nhân $24$ m đã có hàng rào quanh ngoài, được chia thành ô vuông bằng nhau với cạnh song song biên. Có $1172$ m hàng rào để chia bên trong. Số ô vuông nhiều nhất là bao nhiêu?

Tìm tổng số cách viết $270$ thành tổng các số nguyên dương liên tiếp.