IMC 2001 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi đội

Điền các số từ $1$ đến $16$ vào các đỉnh của hai hình lập phương, mỗi đỉnh một số và không lặp, sao cho tổng các số ở bốn đỉnh của mỗi mặt đều bằng nhau.

Xếp các số từ $1$ đến $20$ thành một vòng tròn sao cho tổng của mỗi cặp số kề nhau là số nguyên tố.

Hình dưới được tạo từ hình chữ nhật $2\times3$, cắt một phần tư ô vuông trên phải rồi gắn vào ô vuông dưới trái. Cắt hình theo một đường gấp khúc để được hai mảnh bằng nhau.

Một ô $1\times1$ được gọi là bỏ được nếu khi bỏ nó khỏi hình vuông $8\times8$, phần còn lại có thể được lát bằng $21$ bản sao của mỗi loại trong hai hình dưới đây, xét riêng từng cách lát. Có bao nhiêu ô bỏ được?

Số có bốn chữ số $3025$ bằng bình phương của tổng hai số tạo bởi hai chữ số đầu và hai chữ số cuối: $(30+25)^2=3025$. Tìm mọi số có bốn chữ số khác có tính chất này.

$P$ nằm trong tam giác đều $ABC$, với $PA=4$ cm, $PB=4\sqrt3$ cm, $PC=8$ cm. Tìm diện tích $ABC$ theo xentimét vuông.

Phân số $\frac14$ có tính chất: thêm chữ số $6$ vào sau tử $n$ lần và vào trước mẫu $n$ lần thì được $\frac{166\cdots6}{66\cdots64}=\frac14$ với mọi $n\ge1$. Tử và mẫu đều là một chữ số, mẫu lớn hơn tử. Tìm mọi phân số khác có tính chất này; chữ số lặp không nhất thiết là $6$.

Bảy hình tạo bởi ba hoặc bốn tam giác đều ghép cạnh với cạnh được cho trong bảng $2\times5$ dưới đây. Với mỗi ô được đánh số, tìm một hình có thể ghép bằng các bản sao của hình ở đầu hàng và cũng có thể ghép bằng các bản sao của hình ở đầu cột. Có thể quay hoặc lật các mảnh. Ô một đã được giải minh họa dưới đây.