IMC 2001 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi cá nhân

Tìm mọi số nguyên $n$ sao cho $1+2+\cdots+n$ là số có ba chữ số giống nhau.

Ngũ giác lồi $ABCDE$ có $CD=DE=4$ cm, $EA=AB=BC=2$ cm và $\angle A=\angle B=120^\circ$. Tìm diện tích theo xentimét vuông.

Một hình vuông $6$ cm × $6$ cm phủ được nhiều nhất $60\%$ diện tích một tam giác. Khi đặt tam giác lên hình vuông, tam giác phủ được nhiều nhất $\frac23$ hình vuông. Tìm diện tích tam giác theo xentimét vuông.

Bốn số nguyên dương liên tiếp có tính chất: số nhỏ nhất chia hết cho $5$, số thứ hai cho $7$, số thứ ba cho $9$, số lớn nhất cho $11$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của số lớn nhất.

Trong khoảng từ năm đến sáu giờ, một phụ nữ xem đồng hồ và nhầm kim giờ với kim phút. Bà nghĩ thời gian sớm hơn thực tế khoảng $55$ phút. Chính xác thời gian bị đọc nhầm sớm hơn bao nhiêu phút?

Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Bán kính nội tiếp bằng $4$ cm. Nếu các độ dài $BD,CE,AF$ theo xentimét là các số nguyên liên tiếp, tìm chu vi tam giác theo xentimét.

Tìm số nguyên tố $p$ lớn nhất sao cho tồn tại các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $p+1=2x^2$ và $p^2+1=2y^2$.

Tìm nghiệm thực lớn nhất của $\sqrt{3x^2-18x+52}+\sqrt{2x^2-12x+162}=\sqrt{-x^2+6x+280}$.

Rút gọn $\sqrt{12-\sqrt{24}+\sqrt{39}-\sqrt{104}}-\sqrt{12+\sqrt{24}+\sqrt{39}+\sqrt{104}}$ thành một giá trị số.

Cho $m=1010101\cdots01$, trong đó chữ số $1$ xuất hiện $k$ lần. Tìm $k$ nhỏ nhất để $1001001001001$ là ước của $m$.

Cho $a,b$ là các số thực dương khác nhau, $A=(a+b)/2$, $G=\sqrt{ab}$. Chứng minh $G\lt \frac{(a-b)^2}{8(A-G)}\lt A$.

Tìm khoảng giá trị của $p$ để $3^{2x}-3^{x+1}=p$ có hai nghiệm thực dương phân biệt.

Bốn đỉnh của một hình vuông nằm trên chu vi một tam giác nhọn không cân: một đỉnh trên mỗi cạnh trong hai cạnh, và hai đỉnh trên cạnh thứ ba. Để hình vuông lớn nhất có thể, cạnh chứa hai đỉnh nên là cạnh dài nhất, ngắn nhất hay không thuộc hai loại đó? Hãy giải thích.