VMO 2010

Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases}x^4-y^4=240,\\ x^3-2y^3=3(x^2-4y^2)-4(x-8y).\end{cases}$$

Cho dãy số thực $(a_n)$ xác định bởi
$$a_1=5,\qquad a_n=\sqrt[n]{a_{n-1}^{n-1}+2^{n-1}+2\cdot3^{n-1}}\quad(n\ge2).$$
1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(a_n)$.
2. Chứng minh rằng $(a_n)$ là dãy số giảm.

Trong mặt phẳng, cho đường tròn $(O)$ và hai điểm cố định $B,C$ nằm trên đường tròn đó sao cho dây $BC$ không là đường kính. Xét một điểm $A$ di động trên $(O)$ sao cho $AB\ne AC$ và $A$ không trùng với $B,C$. Gọi $D,E$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $BC$ với đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của góc $BAC$. Gọi $I$ là trung điểm của $DE$. Đường thẳng đi qua trực tâm của tam giác $ABC$ và vuông góc với $AI$ cắt các đường thẳng $AD,AE$ tương ứng tại $M,N$.
1. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.
2. Xác định vị trí của điểm $A$ sao cho tam giác $AMN$ có diện tích lớn nhất.

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, phương trình
$$x^2+15y^2=4^n$$
có ít nhất $n$ nghiệm tự nhiên $(x,y)$.

Cho số nguyên dương $n$. Cho bảng ô vuông kích thước $3\times3$. Người ta dùng $n$ màu để tô tất cả các ô vuông con của bảng sao cho trong mỗi cách tô, mỗi ô vuông con được tô bởi một màu.
Hai cách tô màu được coi là như nhau nếu cách tô màu này có thể nhận được từ cách tô màu kia nhờ một phép quay quanh tâm của bảng ô vuông.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô màu đôi một không như nhau?
Lưu ý: Trong một cách tô không nhất thiết phải dùng đủ $n$ màu.