Cho tam giác $ABC$ không vuông tại $A$ có đường trung tuyến $AM$. Gọi $D$ là một điểm di động trên đường thẳng $AM$. Gọi $(O_1),(O_2)$ là các đường tròn đi qua $D$, tiếp xúc với $BC$ lần lượt tại $B$ và $C$. Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $AB$ với đường tròn $(O_1)$, đường thẳng $AC$ với đường tròn $(O_2)$. Chứng minh rằng:
1. Tiếp tuyến tại $P$ của $(O_1)$ và tiếp tuyến tại $Q$ của $(O_2)$ phải cắt nhau tại một điểm. Gọi giao điểm đó là $S$.
2. Điểm $S$ luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định khi $D$ di động trên $AM$.
Làm rõ cách dựng trong đề in: cần $D\ne M$ để hai đường tròn tồn tại; $P,Q$ là các giao điểm thứ hai, khác $B,C$.
Với mỗi số nguyên dương $n$, xét tập hợp
$$T_n=\{11(k+h)+10(n^k+n^h):1\le k,h\le10\}.$$
Tìm tất cả giá trị của $n$ sao cho không tồn tại $a,b\in T_n$, $a\ne b$, mà $a-b$ chia hết cho $110$.
Gọi một hình chữ nhật có kích thước $1\times2$ là hình chữ nhật đơn, và một hình chữ nhật có kích thước $2\times3$ bỏ đi hai ô ở hai góc chéo nhau (tức còn bốn ô vuông nhỏ) là hình chữ nhật kép. Người ta ghép khít các hình chữ nhật đơn và hình chữ nhật kép này lại với nhau được một bảng hình chữ nhật có kích thước $2008\times2010$. Tìm số bé nhất các hình chữ nhật đơn có thể dùng để ghép.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn
$$16(a+b+c)\ge\frac1a+\frac1b+\frac1c.$$
Chứng minh rằng
$$\frac1{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}+\frac1{(b+c+\sqrt{2(b+a)})^3}+\frac1{(c+a+\sqrt{2(c+b)})^3}\le\frac89.$$
Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào?
Trong một hội nghị có $n$ nước tham gia, mỗi nước có $k$ đại diện, với $n>k>1$. Người ta chia $nk$ người này thành $n$ nhóm, mỗi nhóm có $k$ người sao cho không có hai người nào cùng nhóm đến từ cùng một nước. Chứng minh rằng có thể chọn ra một nhóm gồm $n$ người sao cho họ thuộc các nhóm khác nhau và đến từ các nước khác nhau.
Gọi $S_n$ là tổng bình phương các hệ số trong khai triển của nhị thức $(1+x)^n$, trong đó $n$ là số nguyên dương và $x$ là số thực bất kì. Chứng minh rằng $S_{2n}+1$ không chia hết cho $3$ với mọi số nguyên dương $n$.