VMO 2002 — Bảng A

Giải phương trình
$$\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}=x-2.$$

Cho tam giác $ABC$ cân với $AB=AC$. Gọi $O$ là một điểm thay đổi trên đường thẳng $BC$ thoả mãn tâm $O$ của đường tròn bán kính $OA$ không nhận các đường thẳng $AB$ và $AC$ làm tiếp tuyến. Các đường thẳng $AB,AC$ cắt các đường tròn ở $M,N$ tương ứng. Hãy xác định quỹ tích trực tâm của tam giác $AMN$.

Cho $m\lt 2001$ và $n\lt 2002$ là các số nguyên dương. Một tập hợp các số thực phân biệt được sắp xếp trong một bảng với $2001$ hàng và $2002$ cột. Một số trong bảng được gọi là xấu nếu như nó bé hơn ít nhất $m$ số trong cùng một cột và ít nhất $n$ số trong cùng một dòng. Hỏi rằng số lớn nhất có thể của số xấu là bao nhiêu?

Nếu tất cả các nghiệm thực của $x^3+ax^2+bx+c$ là thực thì hãy chứng minh rằng
$$12ab+27c\le6a^3+10\sqrt{(a^2-2b)^3}.$$

Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $n$ để phương trình
$$a+b+c+d=n\sqrt{abcd}$$
có nghiệm số nguyên dương.

Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình
$$\frac1{x-1}+\frac1{2^2x-1}+\cdots+\frac1{n^2x-1}=\frac12$$
có nghiệm duy nhất $x_n\gt 1$. Chứng minh rằng khi $n$ tiến ra vô hạn thì $x_n$ tiến đến $4$.