VMO 1993 — Bảng A

Cho $f:[\sqrt{1995},\infty)\to\mathbb R$ được xác định bởi $f(x)=x(1993+\sqrt{1995-x^2})$. Hãy xác định các giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số đó.

Cho $ABCD$ là tứ giác thoả mãn $AB$ không song song với $CD$ và $BC$ không song song với $AD$. Các điểm $P,Q,R,S$ thay đổi được lấy trên $AB,BC,CD,DA$ tương ứng sao cho $PQRS$ là hình bình hành. Hãy xác định quỹ tích tâm của hình bình hành đó.

Hãy xác định hàm $f(n)$ xác định trên tập các số nguyên dương với các giá trị nguyên dương thoả mãn $f(f(n))=1993n^{1945}$ với mọi $n$ nguyên dương.

Cho tứ diện $ABCD$ với các đỉnh nằm trên một mặt cầu cố định $S$. Hãy xác định tất cả các vị trí có thể của tứ diện để biểu thức $AB^2+AC^2+AD^2-BC^2-BD^2-CD^2$ [đề in kết thúc tại đây].

Có $1993$ điểm được sắp xếp trên đường tròn. Tại thời điểm ban đầu mỗi điểm được gán tuỳ ý các số là $+1$ hoặc là $-1$. Tại lần thứ $n=1,2,3,\ldots$, các đỉnh sẽ được thay nhãn. Vào lần thứ $n$ một đỉnh được gán số $+1$ nếu như hai số lân cận có cùng số gắn liền ở lần thứ $n-1$. Chứng minh rằng đến một lần $n$ nào đó thì tất cả các số đều bằng $1$.

Người ta xác định dãy $a_0,a_1,a_2,\ldots$ và $b_0,b_1,b_2,\ldots$ thoả mãn $a_0=2$, $b_0=1$,
$$a_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n},\qquad b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_n}.$$
Hãy xác định hai dãy trên hội tụ cùng có giới hạn và hãy xác định giới hạn của chúng.