Ngân hàng câu hỏi IMSO Maths 2012

Tổng ba số $A$, $B$ và $C$ bằng $390$. Biết $A$ gấp $3$ lần $B$ và $A$ bằng một phần ba $C$, tìm $C$.

Số đối xứng là số đọc từ trái sang phải hay từ phải sang trái đều như nhau. Công-tơ-mét của một ô tô chỉ $26962$ km. Sau hai giờ chạy, nó chỉ số đối xứng tiếp theo. Tìm vận tốc trung bình của xe, tính bằng km mỗi giờ.

Lớp A có $10$ học sinh, lớp B có $15$ học sinh. Trong một bài kiểm tra, điểm trung bình lớp A là $60$, lớp B là $66$. Một học sinh mới làm cùng bài kiểm tra tại văn phòng. Nếu xếp em vào lớp A thì điểm trung bình mới của lớp sẽ là $62$. Nếu xếp em vào lớp B thì điểm trung bình mới của lớp B là bao nhiêu?

Helen có một chuỗi hạt đen và trắng theo một quy luật. Bạn ấy đặt một phần chuỗi vào hộp như hình dưới đây. Có bao nhiêu hạt đen trong phần chuỗi nằm trong hộp?



BOX nghĩa là hộp.

Hai năm trước, tuổi Steve gấp ba tuổi Bill; ba năm nữa, tuổi Steve sẽ gấp đôi tuổi Bill. Tìm tổng số tuổi hiện nay của hai người.

Khi đi một mình, bố đi bộ với vận tốc $6$ km mỗi giờ, mẹ đi với vận tốc $4$ km mỗi giờ. Khi đi cùng nhau, họ cùng đi với vận tốc $5$ km mỗi giờ. Họ rời nhà đến cửa hàng cách nhà $1$ km. Sáu phút sau khi xuất phát, bố phải quay về lấy danh sách mua hàng còn mẹ tiếp tục đi. Mẹ phải đợi ở cửa hàng bao nhiêu phút trước khi bố mang danh sách đến?

A nói: “Tôi đã ăn nó.”
B nói: “Người đã ăn là C hoặc D.”
C nói: “Có đúng một người trong A và B nói dối.”
D nói: “C không ăn nó.”
Nếu có đúng hai người nói dối, ai đã ăn?

Trong hình dưới đây, $\angle ABC=\angle BDC=90^\circ$. Nếu $\frac{AD}{DC}=\frac94$ thì $\frac{BD}{AC}$ bằng bao nhiêu?

Một số có ba chữ số nhân với một số có hai chữ số mà chữ số hàng chục là $9$. Tích là một số có bốn chữ số mà chữ số hàng trăm là $2$. Có bao nhiêu số có ba chữ số thỏa mãn điều kiện?

Trong hình dưới đây, tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Điểm $E$ thuộc $AC$, điểm $D$ thuộc phần kéo dài của $CB$ sao cho tam giác $DEC$ đồng dạng với tam giác $ABC$. Nếu $AB$ cắt $DE$ tại $F$ và $AE=EF$, tìm số đo $\angle ABC$, tính bằng độ.

Các điểm $P$ và $Q$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB$ và $BC$ của tam giác $ABC$, sao cho $BP=3PA$, $QC=2BQ$, và $K$ là trung điểm đoạn $PQ$. Biết diện tích tam giác $ABC$ là $120\ \mathrm{cm}^2$, tìm diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của tam giác $AKC$.

Một tam giác được chia thành bảy tam giác. Bốn tam giác trong đó có diện tích $420\ \mathrm{cm}^2$, $80\ \mathrm{cm}^2$, $60\ \mathrm{cm}^2$ và $30\ \mathrm{cm}^2$ như hình dưới đây. Tìm diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của tam giác $AEF$.

Hình dưới đây gồm sáu số nguyên dương khác nhau trên một vòng tròn, sao cho tổng của hai số kề nhau bất kỳ là một số chính phương.



Điền sáu số nguyên dương khác nhau vào hình tiếp theo sao cho có cùng tính chất. Nếu $X\le20$, tìm mọi giá trị có thể của $X$.

Dùng mỗi số đúng một lần, điền các số nguyên dương từ $1$ đến $30$ vào các ô dưới đây để tạo thành $15$ phân số, sao cho có nhiều phân số nhận giá trị nguyên nhất có thể.

Số đối xứng là số nguyên dương đọc từ trái sang phải hay từ phải sang trái đều như nhau. Ví dụ: $909$, $3553$ và $12421$ đều là số đối xứng. Tìm tất cả các số đối xứng có $5$ chữ số chia hết cho $44$.

Dùng $n$ đường thẳng chia mặt phẳng thành các đa giác không chồng lên nhau. Tìm số tam giác lớn nhất có thể tạo thành
(a) khi $n=5$. (1 điểm)
(b) khi $n=6$. (2 điểm)
(c) khi $n=7$. (3 điểm)

Chọn nhiều số nguyên nhất có thể từ $1$ đến $21$ sao cho không có hai cặp rời nhau có cùng hiệu. Ví dụ, $\{1,3,5,13\}$ là một tập như vậy vì hai cặp $3-1=5-3$ không rời nhau. Ngược lại, $\{1,2,4,7,10\}$ không thỏa mãn vì $4-1=10-7$. Số lượng số nguyên lớn nhất có thể chọn là bao nhiêu?

Tìm một số có ba chữ số sao cho tỉ số giữa số đó và tổng các chữ số của nó đạt giá trị nhỏ nhất.

Dùng mỗi số đúng một lần, điền các số từ $1$ đến $42$ vào các ô vuông đơn vị của bảng $6\times7$ sao cho hai số liên tiếp bất kỳ nằm trong hai ô có chung cạnh. Các số $11$, $20$ và $30$ đã được đặt như hình dưới đây. Hãy hoàn thành bảng.

Bán kính của một hình tròn tăng $100\%$. Hỏi diện tích tăng bao nhiêu phần trăm?