IMSO 2012 - Toán học - Tự luận

Tổng ba số $A$, $B$ và $C$ bằng $390$. Biết $A$ gấp $3$ lần $B$ và $A$ bằng một phần ba $C$, tìm $C$.

Số đối xứng là số đọc từ trái sang phải hay từ phải sang trái đều như nhau. Công-tơ-mét của một ô tô chỉ $26962$ km. Sau hai giờ chạy, nó chỉ số đối xứng tiếp theo. Tìm vận tốc trung bình của xe, tính bằng km mỗi giờ.

Lớp A có $10$ học sinh, lớp B có $15$ học sinh. Trong một bài kiểm tra, điểm trung bình lớp A là $60$, lớp B là $66$. Một học sinh mới làm cùng bài kiểm tra tại văn phòng. Nếu xếp em vào lớp A thì điểm trung bình mới của lớp sẽ là $62$. Nếu xếp em vào lớp B thì điểm trung bình mới của lớp B là bao nhiêu?

Helen có một chuỗi hạt đen và trắng theo một quy luật. Bạn ấy đặt một phần chuỗi vào hộp như hình dưới đây. Có bao nhiêu hạt đen trong phần chuỗi nằm trong hộp?



BOX nghĩa là hộp.

Hai năm trước, tuổi Steve gấp ba tuổi Bill; ba năm nữa, tuổi Steve sẽ gấp đôi tuổi Bill. Tìm tổng số tuổi hiện nay của hai người.

Khi đi một mình, bố đi bộ với vận tốc $6$ km mỗi giờ, mẹ đi với vận tốc $4$ km mỗi giờ. Khi đi cùng nhau, họ cùng đi với vận tốc $5$ km mỗi giờ. Họ rời nhà đến cửa hàng cách nhà $1$ km. Sáu phút sau khi xuất phát, bố phải quay về lấy danh sách mua hàng còn mẹ tiếp tục đi. Mẹ phải đợi ở cửa hàng bao nhiêu phút trước khi bố mang danh sách đến?

A nói: “Tôi đã ăn nó.”
B nói: “Người đã ăn là C hoặc D.”
C nói: “Có đúng một người trong A và B nói dối.”
D nói: “C không ăn nó.”
Nếu có đúng hai người nói dối, ai đã ăn?

Trong hình dưới đây, $\angle ABC=\angle BDC=90^\circ$. Nếu $\frac{AD}{DC}=\frac94$ thì $\frac{BD}{AC}$ bằng bao nhiêu?

Một số có ba chữ số nhân với một số có hai chữ số mà chữ số hàng chục là $9$. Tích là một số có bốn chữ số mà chữ số hàng trăm là $2$. Có bao nhiêu số có ba chữ số thỏa mãn điều kiện?

Trong hình dưới đây, tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Điểm $E$ thuộc $AC$, điểm $D$ thuộc phần kéo dài của $CB$ sao cho tam giác $DEC$ đồng dạng với tam giác $ABC$. Nếu $AB$ cắt $DE$ tại $F$ và $AE=EF$, tìm số đo $\angle ABC$, tính bằng độ.

Các điểm $P$ và $Q$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB$ và $BC$ của tam giác $ABC$, sao cho $BP=3PA$, $QC=2BQ$, và $K$ là trung điểm đoạn $PQ$. Biết diện tích tam giác $ABC$ là $120\ \mathrm{cm}^2$, tìm diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của tam giác $AKC$.

Một tam giác được chia thành bảy tam giác. Bốn tam giác trong đó có diện tích $420\ \mathrm{cm}^2$, $80\ \mathrm{cm}^2$, $60\ \mathrm{cm}^2$ và $30\ \mathrm{cm}^2$ như hình dưới đây. Tìm diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của tam giác $AEF$.

Hình dưới đây gồm sáu số nguyên dương khác nhau trên một vòng tròn, sao cho tổng của hai số kề nhau bất kỳ là một số chính phương.



Điền sáu số nguyên dương khác nhau vào hình tiếp theo sao cho có cùng tính chất. Nếu $X\le20$, tìm mọi giá trị có thể của $X$.