IMSO 2012 - Toán học - Khám phá

Dùng mỗi số đúng một lần, điền các số nguyên dương từ $1$ đến $30$ vào các ô dưới đây để tạo thành $15$ phân số, sao cho có nhiều phân số nhận giá trị nguyên nhất có thể.

Số đối xứng là số nguyên dương đọc từ trái sang phải hay từ phải sang trái đều như nhau. Ví dụ: $909$, $3553$ và $12421$ đều là số đối xứng. Tìm tất cả các số đối xứng có $5$ chữ số chia hết cho $44$.

Dùng $n$ đường thẳng chia mặt phẳng thành các đa giác không chồng lên nhau. Tìm số tam giác lớn nhất có thể tạo thành
(a) khi $n=5$. (1 điểm)
(b) khi $n=6$. (2 điểm)
(c) khi $n=7$. (3 điểm)

Chọn nhiều số nguyên nhất có thể từ $1$ đến $21$ sao cho không có hai cặp rời nhau có cùng hiệu. Ví dụ, $\{1,3,5,13\}$ là một tập như vậy vì hai cặp $3-1=5-3$ không rời nhau. Ngược lại, $\{1,2,4,7,10\}$ không thỏa mãn vì $4-1=10-7$. Số lượng số nguyên lớn nhất có thể chọn là bao nhiêu?

Tìm một số có ba chữ số sao cho tỉ số giữa số đó và tổng các chữ số của nó đạt giá trị nhỏ nhất.

Dùng mỗi số đúng một lần, điền các số từ $1$ đến $42$ vào các ô vuông đơn vị của bảng $6\times7$ sao cho hai số liên tiếp bất kỳ nằm trong hai ô có chung cạnh. Các số $11$, $20$ và $30$ đã được đặt như hình dưới đây. Hãy hoàn thành bảng.