Ngân hàng câu hỏi IMSO Maths 2010

Diện tích hình vuông $ABCD$ là $36\text{ cm}^2$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ và $F$ là trung điểm của $BC$. Diện tích hình thang $AEFC$ bằng bao nhiêu $\text{cm}^2$?

Cho $P=1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times10\times11\times12\times13\times14\times15$ và $Q=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15$. Khi chia $P$ cho $Q$, số dư bằng bao nhiêu?

Trong hình, góc $ABF$ là góc vuông. Diện tích tam giác $ABF$ bằng diện tích hình bình hành $FRKA$. Các độ dài $AB$, $BF$ và $FA$ lần lượt là 3 cm, 4 cm và 5 cm. Độ dài $FR$ bằng bao nhiêu cm?

Sáu túi bi lần lượt chứa 18, 19, 21, 23, 25 và 34 viên. Một túi chỉ chứa bi đỏ. Năm túi còn lại không có bi đỏ. Jane lấy ba túi và George lấy hai túi trong số các túi còn lại. Chỉ còn lại túi bi đỏ. Nếu số bi của Jane gấp đôi số bi của George, có bao nhiêu viên bi đỏ?

Trong hình, $AF$, $BE$ và $CD$ song song với nhau. $AB=7$ cm, $BE=3$ cm và $CD=4$ cm. Tính độ dài $AF$, theo cm.

Trong hình, $ABCD$ là hình chữ nhật, $ED=BG=\frac13BC$ và $BF=DH=\frac13AB$. Tỉ số diện tích hình $AFGCHE$ và diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là bao nhiêu?

Một hôm Joko lái xe từ nhà đến cơ quan với tốc độ trung bình 50 km/giờ và đến muộn hai phút. Hôm sau, anh lái xe đến cơ quan với tốc độ trung bình 60 km/giờ và đến sớm một phút. Khoảng cách từ nhà Joko đến cơ quan bằng bao nhiêu km?

Trong hình, đường kính của đường tròn lớn nhất là 28 cm. Bên trong nó có hai đường tròn đường kính 14 cm. Bên trong mỗi đường tròn đường kính 14 cm có hai đường tròn đường kính 7 cm. Diện tích phần tô bóng bằng bao nhiêu $\text{cm}^2$? [Dùng $\pi=\frac{22}{7}$.]

Tỉ số số tiền của Amin và Budi là $5:4$. Hai bạn quyên góp một phần tiền để làm từ thiện. Số tiền Amin quyên góp gấp đôi số tiền Budi quyên góp. Sau đó, mỗi bạn còn 15 đô-la. Amin đã quyên góp bao nhiêu tiền?

Một khối sắt đặc hình hộp chữ nhật được đặt vào một hình trụ. Khối sắt có đáy hình vuông cạnh 10 cm và chiều cao 15 cm. Đường kính và chiều cao hình trụ lần lượt là 14 cm và 16 cm. Nếu nước chiếm $\frac34$ thể tích hình trụ thì có bao nhiêu $\text{cm}^3$ nước tràn ra? [Dùng $\pi=\frac{22}{7}$.]

Siti có 60 quả táo xanh và 90 quả táo đỏ để bán. Giá vốn của mỗi ba quả táo xanh là 10 đô-la, còn mỗi năm quả táo đỏ là 8 đô-la. Cô trộn các quả táo và bán hết. Nếu giá bán mỗi năm quả táo trộn là 15 đô-la, Siti thu được bao nhiêu tiền lãi khi bán hết số táo?

Ary và các bạn cùng ăn tối. Họ thống nhất chia nhau tiền hóa đơn. Nếu mỗi người góp 16 đô-la thì vẫn thiếu 4 đô-la để trả hóa đơn. Nhưng nếu mỗi người góp 19 đô-la thì tổng tiền đủ trả hóa đơn, thêm tiền boa bằng 15% hóa đơn và phí đỗ xe 2 đô-la. Hóa đơn là bao nhiêu tiền?

Peter có một mã gồm ba chữ số cho ổ khóa. Cậu quên mã nhưng nhớ rằng ba chữ số đôi một khác nhau. Cậu còn nhớ rằng nếu chia chữ số thứ nhất cho chữ số thứ hai rồi bình phương kết quả thì được chữ số thứ ba. Hãy tìm tất cả các mã ba chữ số có tính chất đó.

Các mặt của những xúc xắc giống hệt nhau được ghi các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 và 6. Chữ số 1 đối diện chữ số 6, chữ số 2 đối diện chữ số 5, còn chữ số 3 đối diện chữ số 4. Ta ghép một số xúc xắc thành một khối không gian, sao cho chỉ hai mặt mang cùng chữ số mới được dán với nhau. Hai xúc xắc có thể được ghép theo chiều ngang hoặc chiều thẳng đứng. Sau khi ghép, không còn nhìn thấy các chữ số trên những mặt đã dán. Nếu đặt khối lên sàn thì các chữ số trên các mặt đáy cũng không nhìn thấy được. Hình dưới đây cho hai ví dụ về cách ghép.



Yêu cầu:

(a) Ghép ba xúc xắc thành một khối rồi đặt lên sàn sao cho tổng các chữ số nhìn thấy trên các mặt bên và mặt trên của khối là nhỏ nhất.

(b) Ghép bốn xúc xắc thành một khối rồi đặt lên sàn sao cho tổng các chữ số nhìn thấy trên các mặt bên và mặt trên của khối là nhỏ nhất.

Năm nhà khoa học là cô Anna, ông Bill, cô Chelsea, ông Danny và ông Ewing ngồi quanh một bàn tròn. Hãy xác định chỗ ngồi và nghề nghiệp của từng người, biết rằng:



- Cô Anna ngồi ở ghế số 1.
- Cô Chelsea không phải là nhà toán học và ngồi cạnh ít nhất một người đàn ông.
- Ông Danny không phải là bác sĩ.
- Nhà sinh học và bác sĩ đều là nam và ngồi cạnh nhau.
- Nhà thiên văn học ngồi ngay bên phải một người phụ nữ.
- Nhà toán học ngồi ở ghế số 3.
- Ông Bill không phải là bác sĩ và ngồi cách nhà hóa học hai ghế về phía bên phải.

| Số ghế | Tên nhà khoa học | Nghề nghiệp |
|---|---|---|
| 1 | | |
| 2 | | |
| 3 | | |
| 4 | | |
| 5 | | |

Một khối không gian được tạo bởi một số khối lập phương.

Yêu cầu:

(a) Có thể dùng nhiều nhất bao nhiêu khối lập phương để tạo một khối có hình chiếu từ phía trước và hình chiếu từ bên cạnh như dưới đây?



(b) Có thể dùng ít nhất bao nhiêu khối lập phương để tạo một khối có hình chiếu từ phía trước và hình chiếu từ bên cạnh như dưới đây?



(c) Có thể dùng ít nhất bao nhiêu khối lập phương để tạo một khối có hình chiếu từ phía trước và hình chiếu từ bên cạnh như dưới đây?

Hình vẽ cho một khối lập phương có độ dài cạnh bằng 1 đơn vị. Trên khối đã vẽ cả 12 đường chéo của các mặt, tạo thành một mạng gồm 14 điểm (tám đỉnh ban đầu và sáu giao điểm của các đường chéo) cùng 36 đoạn thẳng (12 cạnh ban đầu và bốn nửa đường chéo trên mỗi mặt). Hãy tìm một đường đi ngắn nhất dọc theo các đoạn của mạng, đi qua cả 14 điểm.



Vẽ đường đi tìm được trên hình khai triển của khối lập phương.

Các chữ số 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 được điền vào phép tính sau

$$2\square\times\square\square\square=\square\square\square\square,$$

sao cho không chữ số nào được dùng lặp lại.

Hãy tìm tất cả các cách tạo số có hai chữ số, số có ba chữ số và số có bốn chữ số thỏa mãn phép tính trên.

Một hãng hàng không có lịch bay ngày 16 tháng 10 năm 2010 như trong bảng sau.

| Số chuyến | Sân bay đi | Sân bay đến | Giờ khởi hành | Giờ đến | Thời gian bay (giờ) |
|---:|---|---|---|---|---:|
| 1 | A | B | 5:00 | 7:00 | 2 |
| 2 | A | C | 7:30 | 9:00 | 1.5 |
| 3 | C | A | 9:45 | 11:15 | 1.5 |
| 4 | C | B | 10:30 | 11:30 | 1 |
| 5 | A | C | 12:00 | 13:30 | 1.5 |
| 6 | B | C | 12:15 | 13:15 | 1 |
| 7 | B | A | 12:30 | 14:30 | 2 |
| 8 | C | A | 14:15 | 15:45 | 1.5 |
| 9 | A | D | 16:30 | 17:15 | 0.75 |
| 10 | D | A | 18:00 | 18:45 | 0.75 |

Một dãy các chuyến bay không chồng lấn thời gian, xuất phát từ sân bay A rồi quay về A, trong đó sân bay đến của mỗi chuyến trùng với sân bay đi của chuyến tiếp theo, được gọi là một chuỗi bay. Một chuỗi bay phải thỏa mãn các quy định lao động sau:

1. Tổng thời gian bay trong một ngày không quá 9 giờ.
2. Thời gian làm nhiệm vụ trong một ngày không quá 12 giờ.

Thời gian làm nhiệm vụ là khoảng thời gian gồm thời gian bay của chuyến thứ nhất, thời gian chờ nối chuyến 1, thời gian bay của chuyến thứ hai, thời gian chờ nối chuyến 2, thời gian bay của chuyến thứ ba, ..., thời gian bay của chuyến thứ $n$ $(n\ge2)$.

Thời gian chờ nối chuyến giữa hai chuyến liên tiếp $x$ và $y$ không chồng lấn là khoảng thời gian từ lúc chuyến $x$ đến đến lúc chuyến $y$ khởi hành.

Bảng dưới cho một ví dụ về chuỗi bay.

| Các chuyến bay | Tổng thời gian bay (giờ) | Thời gian làm nhiệm vụ (giờ) |
|---|---|---|
| 2-3-5-8 | $1.5+1.5+1.5+1.5=6$ | $1.5+0.75$ (chờ nối chuyến 1) $+1.5+0.75$ (chờ nối chuyến 2) $+1.5+0.75$ (chờ nối chuyến 3) $+1.5=8.25$ |

Dãy chuyến bay $1-6$ không phải một chuỗi bay vì không quay về sân bay A. Dãy $6-8$ không phải một chuỗi bay vì không xuất phát từ sân bay A. Dãy $1-7-9-10$ cũng không phải một chuỗi bay vì thời gian làm nhiệm vụ vượt quá 12 giờ. Hãy tìm tất cả các chuỗi bay có thể có trong ngày 16 tháng 10 năm 2010.

$E$ là trung điểm cạnh $BC$ của tam giác $ABC$. Điểm $F$ nằm trên $AC$ và $AC=3FC$. Tìm tỉ số diện tích tứ giác $ABEF$ và diện tích tam giác $ABC$.