Các mặt của những xúc xắc giống hệt nhau được ghi các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 và 6. Chữ số 1 đối diện chữ số 6, chữ số 2 đối diện chữ số 5, còn chữ số 3 đối diện chữ số 4. Ta ghép một số xúc xắc thành một khối không gian, sao cho chỉ hai mặt mang cùng chữ số mới được dán với nhau. Hai xúc xắc có thể được ghép theo chiều ngang hoặc chiều thẳng đứng. Sau khi ghép, không còn nhìn thấy các chữ số trên những mặt đã dán. Nếu đặt khối lên sàn thì các chữ số trên các mặt đáy cũng không nhìn thấy được. Hình dưới đây cho hai ví dụ về cách ghép.
Yêu cầu:
(a) Ghép ba xúc xắc thành một khối rồi đặt lên sàn sao cho tổng các chữ số nhìn thấy trên các mặt bên và mặt trên của khối là nhỏ nhất.
(b) Ghép bốn xúc xắc thành một khối rồi đặt lên sàn sao cho tổng các chữ số nhìn thấy trên các mặt bên và mặt trên của khối là nhỏ nhất.
Năm nhà khoa học là cô Anna, ông Bill, cô Chelsea, ông Danny và ông Ewing ngồi quanh một bàn tròn. Hãy xác định chỗ ngồi và nghề nghiệp của từng người, biết rằng:
- Cô Anna ngồi ở ghế số 1.
- Cô Chelsea không phải là nhà toán học và ngồi cạnh ít nhất một người đàn ông.
- Ông Danny không phải là bác sĩ.
- Nhà sinh học và bác sĩ đều là nam và ngồi cạnh nhau.
- Nhà thiên văn học ngồi ngay bên phải một người phụ nữ.
- Nhà toán học ngồi ở ghế số 3.
- Ông Bill không phải là bác sĩ và ngồi cách nhà hóa học hai ghế về phía bên phải.
| Số ghế | Tên nhà khoa học | Nghề nghiệp |
|---|---|---|
| 1 | | |
| 2 | | |
| 3 | | |
| 4 | | |
| 5 | | |
Hình vẽ cho một khối lập phương có độ dài cạnh bằng 1 đơn vị. Trên khối đã vẽ cả 12 đường chéo của các mặt, tạo thành một mạng gồm 14 điểm (tám đỉnh ban đầu và sáu giao điểm của các đường chéo) cùng 36 đoạn thẳng (12 cạnh ban đầu và bốn nửa đường chéo trên mỗi mặt). Hãy tìm một đường đi ngắn nhất dọc theo các đoạn của mạng, đi qua cả 14 điểm.
Vẽ đường đi tìm được trên hình khai triển của khối lập phương.
Một hãng hàng không có lịch bay ngày 16 tháng 10 năm 2010 như trong bảng sau.
| Số chuyến | Sân bay đi | Sân bay đến | Giờ khởi hành | Giờ đến | Thời gian bay (giờ) |
|---:|---|---|---|---|---:|
| 1 | A | B | 5:00 | 7:00 | 2 |
| 2 | A | C | 7:30 | 9:00 | 1.5 |
| 3 | C | A | 9:45 | 11:15 | 1.5 |
| 4 | C | B | 10:30 | 11:30 | 1 |
| 5 | A | C | 12:00 | 13:30 | 1.5 |
| 6 | B | C | 12:15 | 13:15 | 1 |
| 7 | B | A | 12:30 | 14:30 | 2 |
| 8 | C | A | 14:15 | 15:45 | 1.5 |
| 9 | A | D | 16:30 | 17:15 | 0.75 |
| 10 | D | A | 18:00 | 18:45 | 0.75 |
Một dãy các chuyến bay không chồng lấn thời gian, xuất phát từ sân bay A rồi quay về A, trong đó sân bay đến của mỗi chuyến trùng với sân bay đi của chuyến tiếp theo, được gọi là một chuỗi bay. Một chuỗi bay phải thỏa mãn các quy định lao động sau:
1. Tổng thời gian bay trong một ngày không quá 9 giờ.
2. Thời gian làm nhiệm vụ trong một ngày không quá 12 giờ.
Thời gian làm nhiệm vụ là khoảng thời gian gồm thời gian bay của chuyến thứ nhất, thời gian chờ nối chuyến 1, thời gian bay của chuyến thứ hai, thời gian chờ nối chuyến 2, thời gian bay của chuyến thứ ba, ..., thời gian bay của chuyến thứ $n$ $(n\ge2)$.
Thời gian chờ nối chuyến giữa hai chuyến liên tiếp $x$ và $y$ không chồng lấn là khoảng thời gian từ lúc chuyến $x$ đến đến lúc chuyến $y$ khởi hành.
Bảng dưới cho một ví dụ về chuỗi bay.
| Các chuyến bay | Tổng thời gian bay (giờ) | Thời gian làm nhiệm vụ (giờ) |
|---|---|---|
| 2-3-5-8 | $1.5+1.5+1.5+1.5=6$ | $1.5+0.75$ (chờ nối chuyến 1) $+1.5+0.75$ (chờ nối chuyến 2) $+1.5+0.75$ (chờ nối chuyến 3) $+1.5=8.25$ |
Dãy chuyến bay $1-6$ không phải một chuỗi bay vì không quay về sân bay A. Dãy $6-8$ không phải một chuỗi bay vì không xuất phát từ sân bay A. Dãy $1-7-9-10$ cũng không phải một chuỗi bay vì thời gian làm nhiệm vụ vượt quá 12 giờ. Hãy tìm tất cả các chuỗi bay có thể có trong ngày 16 tháng 10 năm 2010.
