IMSO 2010 Toán học - Tự luận quốc tế

Diện tích hình vuông $ABCD$ là $36\text{ cm}^2$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ và $F$ là trung điểm của $BC$. Diện tích hình thang $AEFC$ bằng bao nhiêu $\text{cm}^2$?

Cho $P=1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times10\times11\times12\times13\times14\times15$ và $Q=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15$. Khi chia $P$ cho $Q$, số dư bằng bao nhiêu?

Trong hình, góc $ABF$ là góc vuông. Diện tích tam giác $ABF$ bằng diện tích hình bình hành $FRKA$. Các độ dài $AB$, $BF$ và $FA$ lần lượt là 3 cm, 4 cm và 5 cm. Độ dài $FR$ bằng bao nhiêu cm?

Sáu túi bi lần lượt chứa 18, 19, 21, 23, 25 và 34 viên. Một túi chỉ chứa bi đỏ. Năm túi còn lại không có bi đỏ. Jane lấy ba túi và George lấy hai túi trong số các túi còn lại. Chỉ còn lại túi bi đỏ. Nếu số bi của Jane gấp đôi số bi của George, có bao nhiêu viên bi đỏ?

Trong hình, $AF$, $BE$ và $CD$ song song với nhau. $AB=7$ cm, $BE=3$ cm và $CD=4$ cm. Tính độ dài $AF$, theo cm.

Trong hình, $ABCD$ là hình chữ nhật, $ED=BG=\frac13BC$ và $BF=DH=\frac13AB$. Tỉ số diện tích hình $AFGCHE$ và diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là bao nhiêu?

Một hôm Joko lái xe từ nhà đến cơ quan với tốc độ trung bình 50 km/giờ và đến muộn hai phút. Hôm sau, anh lái xe đến cơ quan với tốc độ trung bình 60 km/giờ và đến sớm một phút. Khoảng cách từ nhà Joko đến cơ quan bằng bao nhiêu km?

Trong hình, đường kính của đường tròn lớn nhất là 28 cm. Bên trong nó có hai đường tròn đường kính 14 cm. Bên trong mỗi đường tròn đường kính 14 cm có hai đường tròn đường kính 7 cm. Diện tích phần tô bóng bằng bao nhiêu $\text{cm}^2$? [Dùng $\pi=\frac{22}{7}$.]

Tỉ số số tiền của Amin và Budi là $5:4$. Hai bạn quyên góp một phần tiền để làm từ thiện. Số tiền Amin quyên góp gấp đôi số tiền Budi quyên góp. Sau đó, mỗi bạn còn 15 đô-la. Amin đã quyên góp bao nhiêu tiền?

Một khối sắt đặc hình hộp chữ nhật được đặt vào một hình trụ. Khối sắt có đáy hình vuông cạnh 10 cm và chiều cao 15 cm. Đường kính và chiều cao hình trụ lần lượt là 14 cm và 16 cm. Nếu nước chiếm $\frac34$ thể tích hình trụ thì có bao nhiêu $\text{cm}^3$ nước tràn ra? [Dùng $\pi=\frac{22}{7}$.]

Siti có 60 quả táo xanh và 90 quả táo đỏ để bán. Giá vốn của mỗi ba quả táo xanh là 10 đô-la, còn mỗi năm quả táo đỏ là 8 đô-la. Cô trộn các quả táo và bán hết. Nếu giá bán mỗi năm quả táo trộn là 15 đô-la, Siti thu được bao nhiêu tiền lãi khi bán hết số táo?

Ary và các bạn cùng ăn tối. Họ thống nhất chia nhau tiền hóa đơn. Nếu mỗi người góp 16 đô-la thì vẫn thiếu 4 đô-la để trả hóa đơn. Nhưng nếu mỗi người góp 19 đô-la thì tổng tiền đủ trả hóa đơn, thêm tiền boa bằng 15% hóa đơn và phí đỗ xe 2 đô-la. Hóa đơn là bao nhiêu tiền?

Peter có một mã gồm ba chữ số cho ổ khóa. Cậu quên mã nhưng nhớ rằng ba chữ số đôi một khác nhau. Cậu còn nhớ rằng nếu chia chữ số thứ nhất cho chữ số thứ hai rồi bình phương kết quả thì được chữ số thứ ba. Hãy tìm tất cả các mã ba chữ số có tính chất đó.