IMSO 2010 — Toán học quốc tế — Trả lời ngắn

$E$ là trung điểm cạnh $BC$ của tam giác $ABC$. Điểm $F$ nằm trên $AC$ và $AC=3FC$. Tìm tỉ số diện tích tứ giác $ABEF$ và diện tích tam giác $ABC$.

Một hình chữ nhật được chia thành bốn hình chữ nhật như hình. Diện tích ba phần được ghi theo $\mathrm{cm}^2$. Tìm diện tích hình chữ nhật ban đầu theo $\mathrm{cm}^2$.

Hình được tạo bởi hai nửa hình tròn đường kính $2\mathrm{\ cm}$ đặt ở phía trên và phía dưới hình vuông cạnh $2\mathrm{\ cm}$. Một hình tròn nội tiếp hình vuông như hình. Tính diện tích phần gạch chéo theo $\mathrm{cm}^2$.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $a$ sao cho $490a$ là một số lập phương.

Các khối lập phương được xếp như hình. Từ trên xuống, mỗi tầng lần lượt có $1$, $3\times3$, $5\times5$, v.v. khối. Có $2010$ khối; mỗi tầng phải đầy đủ, có thể thừa khối. Xếp được nhiều nhất bao nhiêu tầng?

Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính $1$. Tìm tỉ số diện tích hình vuông và diện tích hình tròn. Dùng $\pi=22/7$.

Đi từ $A$ đến $B$ theo đúng chiều các mũi tên trong hình thì có bao nhiêu đường đi khác nhau?

Ba mặt của một hình hộp chữ nhật có diện tích $35$, $55$, $77\mathrm{\ cm}^2$. Chiều dài, rộng, cao là các số nguyên. Tính thể tích theo $\mathrm{cm}^3$.

Tháng Một của một năm có đúng bốn ngày thứ Hai và bốn ngày thứ Năm. Ngày $1$ tháng Một là thứ mấy?

Trong một tam giác cân, một góc bằng bốn lần một góc khác. Tìm số đo góc lớn nhất có thể, theo độ.

Trung bình cộng của $2010$ số nguyên liên tiếp là $1123{,}5$. Tìm số nhỏ nhất.

Mỗi cạnh hình lập phương giảm $10\%$. Thể tích giảm bao nhiêu phần trăm?

Hai phép toán $\circ$ và $\blacklozenge$ được định nghĩa bằng các bảng. Ví dụ, $2\circ3=2$ và $2\blacklozenge3=3$. Tính $(1\blacklozenge2)\circ3$.

Tích $$\begin{gathered}1\times5\times10\times15\times20\times25\times30\\{}\times35\times40\times45\times50\times55\times60\\{}\times65\times70\times75\times80\times85\times90\times95\end{gathered}$$ có bao nhiêu chữ số $0$ ở tận cùng?

Trong phép cộng $ONE+ONE=TWO$, các chữ cái khác nhau biểu diễn các chữ số khác nhau. Có bao nhiêu chữ số khác nhau mà $E$ có thể biểu diễn?

Một thanh dài $16$ mét. Một thiết bị có thể chia một đoạn thành hai phần bằng nhau. Dùng thiết bị $8$ lần để được $9$ đoạn. Hiệu lớn nhất có thể giữa độ dài đoạn dài nhất và đoạn ngắn nhất là bao nhiêu mét?

Sắp xếp lại các số $1,2,\ldots,12$ trên mặt đồng hồ sao cho tổng hai số kề nhau luôn là số tam giác. Các số tam giác là $1,3,6,10,15,21,\ldots$. Nếu $12$ giữ nguyên vị trí, số nào bắt buộc nằm đối diện nó?

Ba hình tròn $A,B,C$ đều có diện tích $60\mathrm{\ cm}^2$. Phần gạch chéo chiếm một nửa hình $A$, một phần ba hình $B$ và một phần tư hình $C$, như hình. Tìm tổng diện tích gạch chéo theo $\mathrm{cm}^2$.

Với số nguyên dương $n$, gọi $d(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Ví dụ, $d(123)=1+2+3=6$ và $d(7879)=7+8+7+9=31$. Tính $d(d(999\,888\,777\,666\,555\,444\,333\,222\,111))$.

Các số $1447$, $1005$, $1231$ đều là số có bốn chữ số bắt đầu bằng $1$ và có đúng hai chữ số giống nhau. Có bao nhiêu số như vậy?