Alice, Betty và Carol cùng tham dự một loạt bài thi. Trong mỗi bài thi có một điểm $A$, một điểm $B$ và một điểm $C$, trong đó $A,B,C$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau. Tổng điểm cuối cùng là
Cho $P(x)$ là một đa thức có hệ số nguyên. Nếu $n(P)$ là số các số nguyên $k$ (phân biệt) sao cho $P^2(k)=1$, hãy chứng minh rằng
$$n(P)-\deg(P)\le2,$$
trong đó $\deg(P)$ là bậc của đa thức $P$.
Tổng bình phương của năm số thực $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ bằng $1$. Chứng minh rằng số nhỏ nhất trong các số $(a_i-a_j)^2$, với $i,j=1,2,3,4,5$ và $i\ne j$, không vượt quá $1/10$.
Cho $A_r,B_r,C_r$ là các điểm trên đường tròn $S$ cho trước. Từ tam giác $A_rB_rC_r$, gọi là $\triangle_r$, thu được tam giác $\triangle_{r+1}$ bằng cách dựng các điểm $A_{r+1},B_{r+1},C_{r+1}$ trên $S$ sao cho $A_{r+1}A_r$ song song với $B_rC_r$, $B_{r+1}B_r$ song song với $C_rA_r$, và $C_{r+1}C_r$ song song với $A_rB_r$. Mỗi góc của $\triangle_1$ có số đo theo độ là một số nguyên và các số nguyên này không là bội của $45$. Chứng minh rằng có ít nhất hai tam giác trong số $\triangle_1,\triangle_2,\ldots,\triangle_{15}$ bằng nhau.
Cho $a_i,b_i$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $i=1,2,\ldots,k$, và $m$ là bội chung nhỏ nhất của $b_1,\ldots,b_k$. Chứng minh rằng ước chung lớn nhất của $a_1\frac m{b_1},\ldots,a_k\frac m{b_k}$ bằng ước chung lớn nhất của $a_1,\ldots,a_k$.
Cho $x,y,z$ là các số thực có giá trị tuyệt đối đều khác $1/\sqrt3$ và thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng
$$\frac{3x-x^3}{1-3x^2}+\frac{3y-y^3}{1-3y^2}+\frac{3z-z^3}{1-3z^2}=\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\cdot\frac{3y-y^3}{1-3y^2}\cdot\frac{3z-z^3}{1-3z^2}.$$
Cho tam giác $\triangle ABC$. Chứng minh rằng tồn tại một điểm $D$ trên cạnh $AB$ sao cho $CD$ là trung bình nhân của $AD$ và $BD$ khi và chỉ khi $\sqrt{\sin A\sin B}\le\sin\frac C2$.
Xét một cách chia bàn cờ $8\times8$ thành $p$ hình chữ nhật có phần trong đôi một không giao nhau sao cho mỗi hình có số ô trắng bằng số ô đen. Giả sử $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_p$, trong đó $a_i$ là số ô trắng trong hình chữ nhật thứ $i$. Tìm giá trị lớn nhất của $p$ để tồn tại cách chia như vậy, và với $p$ đó, xác định tất cả các dãy tương ứng có thể có $a_1,a_2,\ldots,a_p$.
Trong một ngôn ngữ, các từ được tạo thành từ một bảng chữ cái gồm ba chữ cái. Một số từ có từ hai chữ cái trở lên không được phép xuất hiện, và hai từ bị cấm phân biệt bất kỳ có độ dài khác nhau. Chứng minh rằng có thể tạo một từ có độ dài tùy ý không chứa bất kỳ từ bị cấm nào.