MathNet 2023-part-07 — 187 bài (EN–VI)

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho với mọi số thực $x, y$ đẳng thức sau đúng:
$$
f(x + y f(x + y)) = f(y^2) + x f(y) + f(x).
$$

Một quốc gia có $n \ge 3$ sân bay, một số cặp sân bay được nối với nhau bởi các chuyến bay hai chiều. Mỗi ngày, chính phủ đóng cửa sân bay có nhiều chuyến bay xuất phát nhất. Quá trình này có thể kéo dài tối đa bao nhiêu ngày?


Hình 17

Cho một tập hợp gồm $m$ số nguyên dương sao cho chúng cho các số dư đôi một khác nhau theo modulo một số nguyên dương $n$ nào đó. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k \leq m$, có thể chia tập hợp này thành $k$ tập con khác rỗng sao cho tổng các số trong các tập con này cũng đôi một khác nhau theo modulo $n$.

Có tồn tại 10 số, không phải tất cả đều bằng nhau, mà mỗi số bằng bình phương của tổng tất cả các số còn lại hay không?

Bên trong tam giác $ABC$ tồn tại một điểm $O$ sao cho $\angle BOC = 90^\circ - \angle BAC$. Các tia $BO$ và $CO$ lần lượt cắt các cạnh $AC$ và $AB$ tại các điểm $K$ và $L$. Các điểm $K_1$ và $L_1$ lần lượt được chọn trên các đoạn thẳng $LC$ và $BK$ sao cho $BK_1 = K_1K$ và $CL_1 = L_1L$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Chứng minh rằng $\angle K_1ML_1$ là góc vuông.

(Anton Trygub)


**Hình 18**

Cho $n \ge 2$ số nguyên dương phân biệt. Một cặp số nguyên được gọi là *đẹp* nếu tổng của chúng bằng $2^k$ với một số nguyên dương $k$ nào đó. Với mỗi $n$, hãy tìm số lớn nhất có thể của các cặp *đẹp*.
(Oleksii Masalitin)

Số cạnh lớn nhất có thể của một đồ thị có $2n$ đỉnh là bao nhiêu, nếu có đúng một cách chia các đỉnh của nó thành $n$ cặp sao cho trong mỗi cặp hai đỉnh được nối với nhau bởi một cạnh?

Trong ngũ giác lồi $ABCDE$ các điều kiện sau được thỏa mãn: $AB \parallel CD$, $BC \parallel DE$ và $\angle BAE = \angle AED$. Chứng minh rằng $AB + BC = CD + DE$.


Hình 16

Cho $P(x)$, $Q(x)$ và $R(x)$ là các đa thức với hệ số nguyên sao cho đẳng thức $P(x) = Q(x)R(x)$ đúng. Kí hiệu $a$ và $b$ lần lượt là giá trị lớn nhất của các giá trị tuyệt đối của các hệ số của đa thức $P(x)$ và $Q(x)$. Có phải điều kiện $b \le 2023a$ luôn đúng hay không?

Cho $n \ge 2$ số nguyên dương phân biệt. Với mỗi cặp $a \lt b$ trong các số này, xét hiệu $b - a$. Với mỗi hiệu như vậy, Vlada viết ra lũy thừa lớn nhất của hai mà hiệu đó chia hết. Hỏi Vlada có thể viết ra nhiều nhất bao nhiêu số khác nhau?
(Oleksii Masalitin)

Xét một đồ thị đầy đủ có 4046 đỉnh với các cạnh được tô bởi một số màu. Ta gọi đồ thị là $k$-tốt nếu có thể chia tất cả các đỉnh của đồ thị thành 2023 cặp sao cho trong các màu của 2023 cạnh nối các đỉnh trong từng cặp có đúng $k$ màu khác nhau. Có thể xảy ra trường hợp đồ thị là 999-tốt và 1001-tốt nhưng không 1000-tốt hay không?

(Anton Trygub)

Ta gọi một đa thức là *hỗn hợp* nếu nó có cả hệ số dương và hệ số âm (ta không coi số không là dương hay âm). Có đúng là tích của hai đa thức hỗn hợp luôn là một đa thức hỗn hợp hay không?

Gọi $K$ là trung điểm của đường trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$. Trên cạnh $AB$ có điểm $X$ sao cho $\angle KXM = \angle ACB$ và $AX \gt BX$, và trên cạnh $AC$ có điểm $Y$ sao cho $\angle KYM = \angle ABC$ và $AY \gt CY$. Chứng minh rằng các điểm $B, X, C, Y$ cùng nằm trên một đường tròn.

(Mykhailo Shtandenko)


Hình 19

Với số nguyên dương $n$, ta viết ra tất cả các ước của nó $1 = d_1 \lt d_2 \lt \cdots \lt d_k = n$. Một ước $d_i$, $2 \le i \le k-1$, được gọi là ước tốt nếu $d_{i-1}d_{i+1}$ không chia hết cho $d_i$. Tìm tất cả các số $n$ mà số ước tốt của chúng nhỏ hơn số ước nguyên tố khác nhau của chúng.

(Mykhailo Shtandenko)

Một quốc gia có $2024$ thành phố, mỗi hai thành phố được nối hai chiều bởi đúng một trong ba loại phương tiện giao thông: đường sắt, đường hàng không hoặc đường bộ. Một khách du lịch đến quốc gia này và có toàn bộ sơ đồ giao thông. Anh ta chọn một vé đi lại cho một trong các loại phương tiện và thành phố xuất phát. Anh ta muốn thăm càng nhiều thành phố càng tốt nhưng chỉ dùng vé cho loại phương tiện đã chọn. Hỏi khách du lịch chắc chắn có thể thăm được bao nhiêu thành phố? Trong hành trình, anh ta có thể quay lại những thành phố đã thăm.

(Bogdan Rublov)


**Hình 20**

Cho $n \ge 3$ số thực đôi một phân biệt. Chứng minh rằng hoặc có 3 số có tổng dương, hoặc có 2 số có tổng âm.

Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên $n$ và $k$ thỏa mãn phương trình:
$$
n^n + (n + 1)^{n+1} + (n + 2)^{n+2} = 2023^k.
$$

Với số tự nhiên $n \ge 2$, xét bảng ô vuông $n \times n$. Gọi $n^2$ điểm là tâm của các ô vuông $1 \times 1$ trên bảng này. Có thể đánh dấu nhiều nhất bao nhiêu điểm trong số này sao cho không có ba điểm được đánh dấu nào là ba đỉnh của một tam giác vuông?
*(Mykhailo Shtandenko)*

Trên một đường tròn cho 11 điểm. Petryk đánh số chúng bởi các số $1, 2, \ldots, 11$. Sau đó, các cặp điểm được nối bởi các đoạn thẳng: $1$ và $2$, $2$ và $3$, $\ldots$, $10$ và $11$, $11$ và $1$. Hỏi số giao điểm lớn nhất có thể của các đoạn thẳng này là bao nhiêu? 11 điểm đã cho không được tính là giao điểm.


**Hình 4**

Tìm số nguyên gần nhất với giá trị của biểu thức:
$$
((7 + \sqrt{48})^{2023} + (7 - \sqrt{48})^{2023})^2 - ((7 + \sqrt{48})^{2023} - (7 - \sqrt{48})^{2023})^2.
$$