MathNet 1972 — Phần 01

Chứng minh rằng phương trình $x^{3} + 11^{3} = y^{3}$ không có nghiệm trong số nguyên dương $x$ và $y$.

Mô tả một cấu tạo của một tứ giác $ABCD$ đã cho: (i) độ dài của cả bốn cạnh; (ii) rằng $AB$ và $CD$ là song song; (iii) rằng $BC$ và $DA$ không giao nhau.

Số thuật ngữ tối đa trong một cấp số nhân với tỷ lệ chung lớn hơn $1$ mà tất cả các mục nhập đều đến từ tập hợp các số nguyên giữa $100$ và $1000$ bao gồm?

Trong một chiến dịch bầu cử nhất định, $p$ các loại lời hứa khác nhau được thực hiện bởi các đảng chính trị khác nhau ($p\gt 0$). Trong khi một số bên có thể thực hiện cùng một lời hứa, bất kỳ hai bên nào cũng có ít nhất một lời hứa chung; Không có hai bên nào có cùng một bộ lời hứa. Chứng minh rằng không có nhiều hơn các bên $2^{p-1}$.

Cho $a$ và $b$ là số thực riêng biệt. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $m$ và $n$ sao cho $a m + b n \lt 0$, $b m + a n \gt 0$.

Cho ba vòng tròn đơn vị riêng biệt, mỗi đường tròn tiếp tuyến với hai đường tròn còn lại, tìm bán kính của các đường tròn tiếp tuyến với cả ba đường tròn.

Cho $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ là số thực không âm. Xác định $M$ là tổng của tất cả các tích của các cặp $a_{i} a_{j}$ ($i\lt j$), tức là $$
M = a_{1}(a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n}) + a_{2}(a_{3} + a_{4} + \cdots + a_{n}) + \cdots + a_{n-1} a_{n}
$$ Chứng minh rằng bình phương của ít nhất một trong các số $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ không vượt quá $2M / n(n-1)$.

Bốn đường khác biệt $L_{1}, L_{2}, L_{3}, L_{4}$ được đưa ra trong mặt phẳng: $L_{1}$ và $L_{2}$ lần lượt là song song với $L_{3}$ và $L_{4}$. Tìm quỹ tích của một điểm chuyển động sao cho tổng các khoảng cách vuông góc của nó từ bốn đường thẳng là không đổi.

Một $7$-GON được ghi trong một vòng tròn. Tâm của vòng tròn nằm bên trong $7$-GON. $A$, $B$, $C$ là các đỉnh liền kề của $7$-GON. Chứng minh rằng tổng các góc ở $A$, $B$, $C$ nhỏ hơn $450$ độ.

$O$ là điểm giao nhau của các đường chéo của tứ giác lồi $ABCD$. Chứng minh rằng đường thẳng nối các tâm của $ABO$ và $CDO$ vuông góc với đường nối các trực tâm của $BCO$ và $ADO$.

$P$ là đa giác lồi và $X$ là một điểm bên trong sao cho mỗi cặp đỉnh $A$, $B$, tam giác $XAB$ là isosceles. Chứng minh rằng tất cả các đỉnh của $P$ nằm trên một số tâm tròn $X$.

Một chuỗi các số nguyên hữu hạn được định nghĩa như sau. $S_0 = \{m\}$, trong đó $m \gt 1$. Sau đó, cho $S_n$ bạn lấy $S_{n + 1}$ bằng cách lấy $k^2$ và $k + 1$ cho mỗi phần tử $k$ của $S_n$. Ví dụ, nếu $S_0 = \{5\}$, thì $S_2 = \{7, 26, 36, 625\}$. Chứng minh rằng $S_n$ luôn có các yếu tố khác biệt $2^n$.

Hai người chơi chơi trò sau. Ở mỗi lượt, người chơi đầu tiên chọn một chữ số thập phân, sau đó người chơi thứ hai thay thế nó cho một trong các ngôi sao trong phép trừ $|**** - ****|$. Người chơi đầu tiên cố gắng đạt được kết quả lớn nhất có thể, người chơi thứ hai cố gắng đạt được kết quả nhỏ nhất có thể. Chứng minh rằng người chơi đầu tiên luôn có thể chơi để kết quả ít nhất là $4000$ và người chơi thứ hai luôn có thể chơi để kết quả là tối đa $4000$.

A, $m$, $n$ là số nguyên dương và $a \gt 1$. Chứng minh rằng nếu $a^{m} + 1$ chia $a^{n} + 1$ thì $m$ chia $n$. Số nguyên dương $b$ nguyên tố cùng nhau với $a$, cho thấy rằng nếu $a^{m} + b^{m}$ chia $a^{n} + b^{n}$ thì $m$ chia $n$.

Có thể đặt các chữ số $0$, $1$, $2$ vào các ô vuông đơn vị của giấy lót chữ thập $100 \times 100$ sao cho mọi $3 \times 4$ (và mọi hình chữ nhật $4 \times 3$) chứa ba $0$S, bốn $1$S và năm $2$S?

Chứng minh rằng một tập hợp các hình vuông có tổng diện tích $1$ luôn có thể được bố trí bên trong một hình vuông $2$ mà không chồng lên nhau.

$x_1$, $x_2$,..., $x_n$ là những thực dương với tổng $1$. Cho $s$ là lớn nhất của $\dfrac{x_1}{1 + x_1}$, $\dfrac{x_2}{1 + x_1 + x_2}$, ..., $\dfrac{x_n}{1 + x_1 + ... + x_n}$. Giá trị nhỏ nhất có thể của $s$ là bao nhiêu? $x_i$ tương ứng là gì?

Tìm số nguyên lớn nhất $n$ sao cho $4^{27} + 4^{1000} + 4^{n}$ là hình vuông.

9 dòng mỗi dòng chia một hình vuông thành hai hình tứ giác có diện tích $\frac{2}{5}$ và $\frac{3}{5}$ của hình vuông. Chứng minh rằng 3 trong số các dòng gặp nhau ở một điểm.

$ABCD$ là một hình chữ nhật. $M$ là trung điểm của $AD$ và $N$ là trung điểm của $BC$. $P$ là một điểm trên Ray $CD$ ở phía đối diện của $D$ đến $C$. Tia $PM$ cắt $AC$ tại $Q$. Chứng minh rằng $MN$ chia đôi góc $PNQ$.