Cho tam giác đều $ABC$, cạnh $a$ và chu vi vòng tròn của nó, được coi là đoạn tròn giới hạn bởi chuỗi $AB$ và cung (của $120^{\circ}$) với các đầu giống nhau. Khi cắt đoạn tròn này có các đường thẳng song song với mặt bên $BC$, một đoạn các điểm bên trong đoạn tròn đã đề cập được xác định trên mỗi điểm đó. Xác định độ dài tối đa của các đoạn thẳng đó.
Với phương trình $x^{2}+a x+1=0$, hãy xác định
a) khoảng thời gian mà số thực $a$ nên được giữ sao cho gốc của phương trình đó là tưởng tượng.
b) Địa điểm hình học của các điểm đại diện của các gốc đó trong biểu diễn đồ họa thông thường của các số phức, khi $a$ đi quãng trước đó.
Nó được coi là đa giác lồi hai cạnh $n$. Tất cả các đường chéo của chúng được vẽ và giả định rằng không có trường hợp nào ba trong số chúng đồng tình tại một điểm không phải là đỉnh, và cũng không có đường chéo song song. Trong các điều kiện này, bạn muốn tính toán:
a) tổng số điểm giao nhau của các đường chéo này, không bao gồm các đỉnh.
b) có bao nhiêu điểm trong số này bên trong đa giác và bao nhiêu ngoại thất.
Thuế thực hiện của công việc cá nhân là một chức năng $f(x)$ của tổng số $x$ của thù lao hàng năm (trong Pesetas). biết rằng
a) $f(x)$ nó là một chức năng liên tục.
b) đạo hàm $d f(x) / d x$ trong khoảng thời gian $0 \leq x\lt 60000$ là hằng số và bằng 0; trong khoảng thời gian $60000\lt x\lt P$ là không đổi và bằng 1; và để $x\gt P$ không đổi và bằng 0,14.
c) $f(0)=0$ y $f(140000)=14000$. Xác định giá trị của số lượng $P$ của pesetas và biểu diễn bằng đồ thị chức năng $y=f(x)$.
Trong một mặt phẳng thẳng đứng, chúng ta xem xét các điểm $A$ và $B$ nằm trên một đường nằm ngang, và hình bán nguyệt của các đầu kết thúc $A, B$ nằm ở nửa mặt phẳng dưới. Một đoạn có chiều dài $a$, bằng đường kính của hình bán nguyệt, di chuyển theo cách mà nó luôn chứa điểm $A$ và một trong những đầu của nó chạy qua hình bán nguyệt đã cho. Xác định giá trị cosin của góc mà đoạn đó phải tạo thành với đường nằm ngang, sao cho điểm giữa của nó càng thấp càng tốt.
Với một hình ngũ giác thông thường, năm đoạn đường chéo của nó được vẽ. Nó được yêu cầu xác định tổng số tam giác xuất hiện trong hình và phân loại tập hợp các tam giác này theo các lớp của tam giác bằng nhau (trực tiếp hoặc nghịch đảo) với nhau.
Nó được coi là một tệp có 1000 quân được đánh số, được sắp xếp theo thứ tự tự nhiên của nó. Thao tác sau đây được áp dụng cho tệp đó: tệp đầu tiên của tệp được đặt xen kẽ giữa tệp áp chót và tệp cuối cùng, và tệp thứ hai, ở cuối tất cả, do đó, để lại, do đó, ở vị trí đầu tiên, tệp thứ ba đã chiếm giữ trước đó. Quan sát sự liên tiếp của các vị trí mà mỗi thẻ chiếm giữ, cho thấy rằng sau 1000 phép toán tương tự, được áp dụng liên tiếp (mỗi vị trí cho thứ tự từ hoạt động trước đó), tệp sẽ quay trở lại trật tự tự nhiên của nó. Kiểm tra xem không thể lấy được kết quả tương tự (các thao tác $n$ cho tệp các tab $n$) nếu đó là tệp có số lẻ $n$ của tab.
Tìm giá trị nhỏ nhất $x$ sao cho bất kỳ điểm nào bên trong tam giác đều cạnh $1$, chúng ta luôn có thể chọn hai điểm trên các cạnh của tam giác, thẳng hàng với điểm đã cho và khoảng cách $x$ ngoài.
Cho một bộ $n$ các thực dương khác nhau $\{a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}\}$. Lấy tất cả các tập con không trống có thể có và tạo thành tổng của chúng. Chứng minh chúng ta nhận được ít nhất $\frac{n(n + 1)}{2}$ các khoản tiền khác nhau.
Cho một tam giác cân, tìm quỹ tích của điểm $P$ bên trong tam giác sao cho khoảng cách từ $P$ đến đáy bằng giá trị trung bình hình học của khoảng cách đến các cạnh.
Cho một tam giác $ABC$. Để đường thẳng qua $C$ song song với phân giác góc của $B$ gặp phân giác góc của $A$ tại $D$ và để đường thẳng đi qua $C$ song song với phân giác góc của $A$ gặp phân giác góc của $B$ tại $E$. Chứng minh rằng nếu $DE$ song song với $AB$ thì $CA = CB$.
chúng ta có thể gắn nhãn cho mỗi đỉnh của một 45-gon bằng một trong các chữ số $0, 1, \ldots, 9$ để đối với mỗi cặp chữ số riêng biệt $i, j$ một trong 45 cạnh có các đỉnh được dán nhãn $i, j$?
Cho một vòng tròn $c$ và hai điểm cố định $A$, $B$ trên đó. $M$ là một điểm khác trên $c$, và $K$ là điểm giữa của $BM$. $P$ là chân của đường vuông góc từ $K$ đến $AM$.
a. chứng minh rằng $KP$ đi qua một điểm cố định (như $M$ thay đổi).
b. Tìm quỹ tích của $P$.
Chúng tôi đặt các điểm được gắn nhãn trên một vòng tròn như sau. Ở bước 1, lấy hai điểm ở hai đầu đối diện của đường kính và dán nhãn cho cả hai điểm $1$. Tại bước $n \gt 1$, đặt một điểm tại điểm giữa của mỗi cung được tạo ở bước $n - 1$ và gắn nhãn nó bằng tổng của các nhãn tại hai điểm liền kề. Tổng của các nhãn sau bước $n$ là bao nhiêu? Ví dụ, sau bước 4 chúng ta có: $1$, $4$, $3$, $5$, $2$, $5$, $3$, $4$, $1$, $4$, $3$, $5$, $2$, $5$, $4$, $3$, $4$.
Bảng
a. Một bảng $6 \times 6$ được lát gạch $2 \times 1$ Dominos. Chứng minh rằng chúng ta luôn có thể chia bảng thành hai hình chữ nhật, mỗi bảng được lát riêng biệt (không có domino vượt qua vạch chia).
b. Điều này có đúng với bảng $8 \times 8$ không?
8 cầu thủ thi đấu trong một giải đấu. Mọi người chơi mọi người chỉ một lần. Người chiến thắng của một trò chơi nhận được 1, người thua 0 hoặc mỗi người nhận được $\frac{1}{2}$ nếu trò chơi được rút ra. Kết quả cuối cùng là mọi người đều nhận được điểm số khác nhau và người chơi đứng thứ hai nhận được bằng tổng số bốn người chơi dưới cùng. Kết quả của trò chơi giữa người chơi xếp thứ ba và người chơi xếp thứ bảy là gì?