Gán cho mỗi cạnh $b$ của đa giác lồi $\mathcal{P}$ diện tích lớn nhất của một tam giác có $b$ là một cạnh và được chứa trong $\mathcal{P}$. Chứng minh rằng tổng diện tích được gán cho các cạnh của $\mathcal{P}$ ít nhất phải gấp đôi diện tích của $\mathcal{P}$.
Sau khi thua một ván cờ đam và tính nóng nảy của mình, tôi ném tất cả quân cờ xuống đất, chỉ còn một quân. Quân cờ cuối cùng này, có hình tròn hoàn hảo, vẫn nằm hoàn toàn trên bảng và bao phủ các diện tích bằng nhau của các ô vuông màu đỏ và đen. Chứng minh rằng tâm của quân cờ này phải nằm trên ranh giới giữa hai ô vuông (hoặc tại giao điểm của bốn ô vuông).
Tứ giác nội tiếp $ABCD$ có các cạnh dài $AB = 1$, $BC = 2$, $CD = 3$ và $DA = 4$. Các điểm $P$ và $Q$ là trung điểm của $\overline{BC}$ và $\overline{DA}$. Tính toán $PQ^{2}$.
Đặt $n$ ít nhất là một số nguyên $5$. Có thể vẽ cùng lúc tối đa bao nhiêu đường chéo của một $n$-giác thông thường sao cho không có hai đường chéo nào song song? Chứng minh câu trả lời của bạn.
Gọi $N$ là số tập con của $\{1,2,3, \ldots, 100\}$ chứa nhiều số nguyên tố hơn bội số của $4$. Tính số nguyên lớn nhất $k$ sao cho $2^{k}$ chia hết $N$.
Lấy một hình cầu đơn vị $S$, tức là một hình cầu có bán kính $1$. Vẽ đường tròn khối lập phương $C$ xung quanh $S$ và nội tiếp khối lập phương $D$ trong $S$ sao cho mọi cạnh của khối $C$ đều song song với một cạnh nào đó của khối $D$. Khoảng cách ngắn nhất có thể từ một điểm trên mặt $C$ đến một điểm trên mặt $D$ là bao nhiêu?
$A B C$ là tam giác nhọn nội tiếp $\omega$. $\omega$ tiếp tuyến với các cạnh $\overline{B C}$, $\overline{C A}$ và $\overline{A B}$ lần lượt tại $D$, $E$ và $F$. $P$ là một điểm trên độ cao tính từ $A$ sao cho $\Gamma$, đường tròn có đường kính $\overline{A P}$, tiếp tuyến với $\omega$. $\Gamma$ giao $\overline{A C}$ và $\overline{A B}$ lần lượt tại $X$ và $Y$. Cho $X Y = 8$, $A E = 15$ và bán kính của $\Gamma$ là $5$, hãy tính $B D \cdot D C$.
Đối với một số nguyên dương $k$ cho trước, theo $k$, giá trị tối thiểu của $N$ mà có một tập hợp các số nguyên dương riêng biệt $2k+1$ có tổng lớn hơn $N$ nhưng mọi tập hợp con có kích thước $k$ có tổng tối đa là $N/2$.
Giả sử $ABC$ là một tam giác sao cho $AB = 13$, $BC = 15$ và $CA = 14$. Giả sử $D$ là trung điểm của $\overline{BC}$, $E$ là trung điểm của $\overline{AD}$, $F$ là trung điểm của $\overline{BE}$ và $G$ là trung điểm của $\overline{DF}$. Tính diện tích tam giác $EFG$.
Đặt $A$, $B$, $C$ và $D$ là các điểm trên đường tròn sao cho $AB = 11$ và $CD = 19$. Điểm $P$ nằm trên đoạn $AB$ với $AP = 6$ và $Q$ nằm trên đoạn $CD$ với $CQ = 7$. Đường thẳng qua $P$ và $Q$ cắt đường tròn tại $X$ và $Y$. Nếu $PQ = 27$, hãy tìm $XY$.
Trường trung học Vernonia có 85 học sinh cuối cấp, mỗi học sinh chơi trong ít nhất một trong ba đội thể thao đa dạng của trường: bóng đá, bóng chày và bóng vợt. Điều đó xảy ra là có 74 người trong đội bóng đá; 26 người trong đội bóng chày; 17 người thuộc cả đội bóng đá và bóng vợt; 18 người thuộc cả đội bóng chày và bóng đá; và 13 người thuộc cả đội bóng chày và bóng vợt. Tính số học sinh cuối cấp chơi cả ba môn thể thao, biết rằng gấp đôi số học sinh này là thành viên của đội bóng vợt.
Cho $f(x)$ là đa thức $2006$ bậc có nghiệm phức $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{2006}$ sao cho tập
$$
\left\{\left|c_{1}\right|,\left|c_{2}\right|, \ldots,\left|c_{2006}\right|\right\}
$$
bao gồm chính xác các giá trị riêng biệt $1006$. Số lượng gốc thực tối thiểu của $f(x)$ là bao nhiêu?
Một đa giác đều 12 cạnh nội tiếp trong một đường tròn bán kính $1$. Có bao nhiêu dây của đường tròn nối hai đỉnh của 12 giác có độ dài mà bình phương của chúng là hữu tỉ? (Không cần bằng chứng.)
Bốn điểm được chọn độc lập một cách ngẫu nhiên và thống nhất từ bên trong khối mười hai mặt đều. Xác suất để chúng tạo thành một khối tứ diện có phần bên trong chứa tâm của khối mười hai mặt là bao nhiêu?
Một con bướm bắt đầu từ đỉnh $A$ của một khối lập phương nhất định và đang cố gắng đi đến đỉnh $B$, đối diện với $A$, trong năm "bước" trở xuống, trong đó một bước bao gồm việc di chuyển dọc theo một cạnh từ đỉnh này sang đỉnh khác. Con bướm sẽ dừng lại ngay khi nó chạm tới $B$. Có bao nhiêu cách con bướm có thể đạt được mục tiêu của nó?
Một viên sỏi có hình dạng là giao điểm của một khối lập phương có chiều dài cạnh $1$ với hình cầu đặc tiếp xúc với tất cả các cạnh của khối lập phương. Diện tích bề mặt của viên sỏi này là bao nhiêu?
Cho một $n$-giác đều có các cạnh dài $1$, bán kính $r$ nhỏ nhất là bao nhiêu để có một giao điểm không trống của các đường tròn $n$ có bán kính $r$ có tâm tại các đỉnh của $n$-giác? Cho $r$ dưới dạng công thức theo $n$. Hãy chắc chắn để chứng minh câu trả lời của bạn.