Cho dãy $(a_n)$ xác định bởi
$$\begin{cases}a_1=1,\\a_{n+1}=3-\frac{a_n+2}{2^{a_n}}\quad(n\ge1).\end{cases}$$
Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Cho tam giác $ABC$ với $AC \gt AB$. Đường tròn $\omega$ tiếp xúc với các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$, cắt đường tròn ngoại tiếp $ABC$ tại $K$ và $L$. Các điểm $X$ và $Y$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB$ và $AC$ sao cho
$$
\frac{AX}{AB} = \frac{CE}{BD + CE} \quad \text{và} \quad \frac{AY}{AC} = \frac{BD}{BD + CE}.
$$
Chứng minh ba đường thẳng $XY$, $BC$ và $KL$ đồng quy.
Đường tròn $\omega_1$ có đường kính $[AB]$ và đường tròn $\omega_2$ có tâm $A$ cắt nhau tại $C$, $D$. Gọi $E$ là điểm trên đường tròn $\omega_2$, nằm ngoài $\omega_1$ và cùng phía với $C$ đối với đường thẳng $AB$. Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng $BE$ với $\omega_2$ là $F$. Giả sử điểm $K \in \omega_1$ nằm cùng phía với $A$ đối với đường kính của $\omega_1$ đi qua $C$ và thỏa mãn $2 \cdot CK \cdot AC = CE \cdot AB$. Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng $KF$ với $\omega_1$ là $L$. Chứng minh ảnh đối xứng của $D$ qua đường thẳng $BE$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $LFC$.
Alice chọn một số lẻ $k = 2l+1$, xếp $k$ chiếc đĩa quanh một vòng tròn rồi phân bố 2013 hạt vào một số đĩa tùy ý. Sau đó Bob đánh dấu một đĩa. Tìm giá trị lớn nhất của $N$ sao cho dù Bob đánh dấu đĩa nào, Alice cũng có thể chọn đúng $l$ đĩa không bị đánh dấu, đôi một không kề nhau, chứa tổng cộng ít nhất $N$ hạt.
Với số nguyên dương $n \ge 3$, lấy $n$ điểm cách đều trên một đường tròn. Gọi một điểm là $A$ và đặt quân đánh dấu tại $A$. Mỗi lượt được di chuyển quân theo chiều kim đồng hồ tới điểm kế tiếp hoặc điểm cách đó hai bước. Như vậy có tất cả $2n$ nước đi khác nhau, hai nước đi từ mỗi điểm. Gọi $a_n$ là số cách đi đúng hai vòng, bắt đầu và kết thúc tại $A$, không lặp lại nước đi nào. Chứng minh $a_{n-1} + a_n = 2^n$ với mọi $n \ge 4$.
(Bài toán do Sam Vandervelde đề xuất.)
Gọi $\omega$ là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với $BC$ và $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$ (đường tròn này được ký hiệu $\omega$). Kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $D$, cắt đường tròn $\omega$ tại điểm $P$ gần $A$ hơn. Đường thẳng $AP$ cắt $BC$ tại $M$. Gọi $N$ là điểm trên đoạn $AC$ sao cho $AE = CN$; đường thẳng
$BN$ cắt đường tròn $\omega$ tại điểm $Q$ gần $B$ hơn và cắt $AM$ tại $R$. Chứng minh diện tích tam giác $ABR$ bằng diện tích tứ giác $PQMN$.
Hai đường tròn $w_1, w_2$ tiếp xúc ngoài tại $Q$. Một tiếp tuyến chung ngoài của chúng (không đi qua $Q$) tiếp xúc với $w_1$ tại $B$, và $BA$ là đường kính của đường tròn này. Điểm $A$ nằm trên tiếp tuyến của đường tròn $w_2$ tại $C$ sao cho $B$ và $C$ ở cùng nửa mặt phẳng bờ $AQ$. Chứng minh đường tròn $w_1$ chia đôi đoạn $BC$.
Cho số nguyên $n \ge 4$ và các số thực không âm $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$.
a) Chứng minh bất đẳng thức
$$
\left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^2 \ge \min\left\{\frac{n}{3}, \frac{8}{3}\right\} \sum_{i=1}^{n} x_i (x_{i+1} + x_{i+2} + x_{i+3})
$$
trong đó $x_{n+1} = x_1$, $x_{n+2} = x_2$, $x_{n+3} = x_3$.
b) Khi nào dấu bằng xảy ra?
Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường tròn ngoại tiếp $(O)$. Điểm $D$ nằm trên cung $BC$ không chứa $A$. Một đường thẳng $l$ di động qua trực tâm $H$ của $ABC$ cắt lại các đường tròn ngoại tiếp $ABH$ và $ACH$ lần lượt tại $M,N$ ($M\ne H,N\ne H$).
a) Xác định vị trí $l$ để diện tích $AMN$ lớn nhất.
b) Gọi $d_1,d_2$ lần lượt là đường qua $M$ vuông góc $DB$ và đường qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1,d_2$ thuộc một đường tròn cố định.
Cho tam giác $ABC$. Tìm tất cả điểm $P$ trên đoạn $BC$ có tính chất sau: Nếu $X$ và $Y$ là giao điểm của đường thẳng $PA$ với các tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $PAB$ và $PAC$, thì
$$
\left( \frac{PA}{XY} \right)^2 + \frac{PB \cdot PC}{AB \cdot AC} = 1.
$$
(Bài toán do Titu Andreescu và Cosmin Pohoata đề xuất.)
Một hình chữ nhật kích thước $5\times6$ được chia thành tám hình chữ nhật có các cạnh song song với các cạnh hình ban đầu và độ dài cạnh là số nguyên dương. Chứng minh ít nhất hai trong tám hình chữ nhật bằng nhau.
Cho các số nguyên dương $m$ và $n$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $c$ sao cho $cm$ và $cn$ có cùng số lần xuất hiện của từng chữ số khác không khi viết trong hệ thập phân.
Trong một cuộc thi toán, một số thí sinh là bạn của nhau; tình bạn luôn tương hỗ: nếu $A$ là bạn của $B$ thì $B$ cũng là bạn của $A$. Ta nói $n\ge3$ thí sinh khác nhau $A_1,A_2,\ldots,A_n$ tạo thành một chu trình thân thiện yếu nếu $A_i$ không là bạn của $A_{i+1}$ với $1\le i\le n$ (quy ước $A_{n+1}=A_1$), và không có cặp không là bạn nào khác giữa các thành viên của chu trình.
Giả sử: với mọi thí sinh $C$ và mọi chu trình thân thiện yếu $\mathcal S$ không chứa $C$, có nhiều nhất một thành viên $D$ của $\mathcal S$ không là bạn của $C$.
Chứng minh có thể xếp tất cả thí sinh vào ba phòng sao cho hai người bất kỳ trong cùng phòng đều là bạn.
Bài toán (bản tiếng Romania được lặp lại trong nguồn):
Trong một cuộc thi toán, một số học sinh tham gia là bạn; tình bạn luôn tương hỗ, nghĩa là nếu $A$ là bạn của $B$ thì $B$ cũng là bạn của $A$. Ta nói $n$ học sinh khác nhau ($n\ge3$) $A_1,A_2,\ldots,A_n$ tạo thành một chu trình thân thiện yếu nếu $A_i$ không là bạn của $A_{i+1}$ với $1\le i\le n$ (quy ước $A_{n+1}=A_1$), và trong chu trình không có cặp không là bạn nào khác.
Giả sử tính chất sau được thỏa mãn: với mỗi học sinh $C$, mỗi chu trình thân thiện yếu $\mathcal S$ không chứa $C$ có nhiều nhất một học sinh không là bạn của $C$.
Chứng minh tất cả học sinh có thể được chia vào ba phòng sao cho hai học sinh bất kỳ trong cùng phòng là bạn.
Tính chính xác giá trị biểu thức sau:
$$
\frac{(6!+5!)(5!+4!)(4!+3!)(3!+2!)(2!+1!)}{(6!-5!)(5!-4!)(4!-3!)(3!-2!)(2!-1)!}
$$
trong đó $n!$ là tích $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$ với mọi số tự nhiên $n$.
