Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh $12~\mathrm{cm}$. Tính chiều cao của hình chóp đều có cùng chiều cao, cùng đáy và cùng diện tích xung quanh với hình lăng trụ đứng đã cho.
Cho điểm $D$ trên cạnh $AB$ của tam giác $ABC$. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ và $ACD$ lần lượt cắt lại các đường thẳng $AC$ và $BC$ tại $E$ và $F$. Đường trung trực của đoạn $EF$ cắt đường thẳng $AB$ tại $M$ và cắt đường vuông góc với $AB$ qua $D$ tại $N$. Gọi $T$ là giao điểm của $AB$ và $EF$, và $U$ là giao điểm của đường thẳng $CT$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDM$. Chứng minh rằng $|NC|=|NU|$.
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m,n)$ sao cho
$$m+3n-5=2v-11d.$$
Ở đây $v$ là bội chung nhỏ nhất của $m,n$, còn $d$ là ước chung lớn nhất của $m,n$.
Cho tam giác cân $ABC$ với $AC=BC$. Điểm $D$ nằm trên đường thẳng $BA$ sao cho $A$ nằm giữa $B,D$. Gọi $O_1$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DAC$. Đường tròn $O_1$ cắt $BC$ tại $E$. Gọi $F$ là điểm trên đường thẳng $BC$ sao cho $FD$ là tiếp tuyến của $O_1$, và $O_2$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DBF$. Hai đường tròn $O_1,O_2$ cắt nhau tại $G$ ($G\ne D$). Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEG$. Chứng minh rằng đường thẳng $FG$ tiếp xúc với đường tròn $O$ khi và chỉ khi $DG$ vuông góc với $FO$.
Trên đỉnh một con dốc dài $75~\mathrm{m}$ có một cột phát sóng. Nhìn từ chân dốc, cột chắn một góc $10^\circ$ (xem hình). Cột phát sóng cao bao nhiêu (chiều cao được kí hiệu là $h$ trên hình), nếu độ nghiêng của dốc là $20^\circ$? Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân.
Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm phân biệt của đa thức $p(x)=x^2+ax+b$, và giả sử $x_1^2-\frac12$, $x_2^2-\frac12$ là các nghiệm của $q(x)=x^2+(a^2-\frac12)x+b^2-\frac12$. Tìm $a,b$.
Với số thực $x$, kí hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $a,b,c$,
$$\left\lfloor\frac{\left\lfloor c/a\right\rfloor}{b}\right\rfloor\le\left\lfloor\frac{c}{ab}\right\rfloor.$$
b. Tìm một ví dụ cho thấy đẳng thức nói trên không đúng với mọi số thực dương $a,b,c$.
Đoạn thẳng $AB$ dài $20$ cm. Một đường gấp khúc nối $A$ với $B$, cùng với đoạn $AB$, tạo thành $7$ tam giác đều. Không đoạn nào của đường gấp khúc nằm trên đoạn $AB$. Độ dài đường gấp khúc này tính bằng centimét là bao nhiêu?
Trên bàn có ba đống quân: đống thứ nhất có $a$, đống thứ hai có $b$, đống thứ ba có $c$ quân, với $a\ge b\ge c\gt 0$. Hai người chơi $A,B$ luân phiên chuyển quân. Người $A$ đi trước. Trong mỗi lượt, người chơi chọn hai đống rồi chuyển ít nhất một quân từ đống ít quân hơn sang đống nhiều quân hơn. Nếu hai đống được chọn bằng nhau thì có thể chuyển ít nhất một quân từ một trong hai đống sang đống kia. Người chơi thắng nếu sau lượt của mình chỉ còn một đống. Với các giá trị khác nhau của $a,b,c$, ai có chiến thuật thắng?
Cho dãy số nguyên dương $\{x_n\}_{n\ge1}$ xác định bởi $x_1=2$ và $x_{n+1}=2x_n+x_n$ với mọi $n\ge1$. Xác định lũy thừa lớn nhất của $5$ là ước của $x_{2014}^2+1$.
Cho đường tròn $\mathcal K$ tâm $O$, bán kính $r$. Cận trên của độ dài $|OT|$ là bao nhiêu, nếu $T$ là điểm trên mặt phẳng sao cho tồn tại tam giác đều $ABT$ với $A,B$ thuộc đường tròn $\mathcal K$?
Cho một dãy vô hạn có bốn số hạng đầu là $2,6,18,54$. Viết công thức số hạng tổng quát $a_n$ của dãy, biết rằng tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp bất kì không đổi. Tính thêm tổng $1000$ số hạng đầu của dãy có số hạng tổng quát $b_n=\log_3(a_n)$.
Một lục địa có hữu hạn lâu đài và mỗi lâu đài thuộc đúng một trong hai nước $A,B$. Mỗi lâu đài có một tướng. Hai lâu đài được gọi là kề nhau nếu có một con đường nối chúng. Một lâu đài $P$ và một tập lâu đài $Q$ được gọi là kề nhau nếu $P$ kề với một lâu đài nào đó trong $Q$. Chứng minh hai điều kiện sau tương đương.
1\. Nếu một số tướng nước $B$ chuyển đến các lâu đài kề bên để tấn công, các tướng nước $A$ có thể chuyển đến các lâu đài kề bên sao cho tại mỗi lâu đài thuộc nước $A$, số tướng của $A$ không ít hơn số tướng của $B$.
2\. Nếu $X$ là một tập lâu đài nước $A$, thì số tướng của $A$ đang ở trong $X$ hoặc trong các lâu đài kề với $X$ không ít hơn số tướng của $B$ đang ở trong các lâu đài kề với $X$.
