AMC10 năm 2027 - Tự luyện tập Set 6

Sáu hạt cườm gồm ba hạt đỏ, hai hạt trắng và một hạt xanh được xếp ngẫu nhiên thành một hàng. Xác suất để không có hai hạt cạnh nhau cùng màu là bao nhiêu?

Bốn khối lập phương có cạnh lần lượt $1,2,3,4$ được xếp như hình. Phần đoạn thẳng $XY$ nằm bên trong khối lập phương cạnh $3$ dài bao nhiêu?

Các số nguyên dương $p,q$ thỏa mãn $\frac59\lt \frac pq\lt \frac47$, với $q$ nhỏ nhất có thể. Tìm $q-p$.

Mary chọn một số nguyên dương chẵn có $4$ chữ số $n$, rồi viết các ước dương của $n$ theo thứ tự tăng dần: $1,2,\ldots,n/2,n$. Cô vừa viết $323$ là một ước của $n$. Giá trị nhỏ nhất có thể của ước tiếp theo là bao nhiêu?

Chọn đều ba đỉnh khác nhau của một khối lập phương. Xác suất để mặt phẳng đi qua ba đỉnh này chứa một điểm nằm trong phần trong của khối lập phương là bao nhiêu?

Một tam giác được chia thành ba tam giác nhỏ và một tứ giác như hình. Diện tích ba tam giác nhỏ lần lượt là $3,7,7$. Tính diện tích tứ giác tô xám.

Các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=2$, $a^2+b^2+c^2=12$. Tìm hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất mà $a$ có thể nhận.

Có bao nhiêu số nguyên dương $n\lt 100$ thỏa mãn $n!$ chia hết cho tổng $n$ số nguyên dương đầu tiên?

Chọn một số trong $[0,1]$ bằng quy trình sau, với đồng xu công bằng:

- Nếu lần tung đầu ra mặt ngửa, tung thêm một lần: ngửa thì chọn $0$, sấp thì chọn $1$.
- Nếu lần tung đầu ra mặt sấp, chọn đều một số thực trong $[0,1]$.

Hai số $x,y$ được chọn độc lập bằng quy trình này. Xác suất để $|x-y|\gt \dfrac12$ là bao nhiêu?

Hai đường tròn bán kính $5$ tiếp xúc ngoài với nhau, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn bán kính $13$ tại $A,B$ như hình. Độ dài $AB=\frac mn$, với $m,n$ nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính $m+n$.

Có bao nhiêu hình hộp chữ nhật có các kích thước nguyên dương $1\le a\le b\le c$, mà thể tích bằng tổng diện tích cả sáu mặt?

Cho $x,y$ là hai số có hai chữ số, trong đó $y$ được tạo bằng cách đảo thứ tự hai chữ số của $x$. Biết $x^2-y^2=m^2$ với $m$ là số nguyên dương. Giá trị $x+y+m$ bằng bao nhiêu?

Tám người ngồi quanh một bàn tròn. Mỗi người tung độc lập một đồng xu công bằng. Ai được ngửa thì đứng lên, ai được sấp thì vẫn ngồi. Xác suất để không có hai người đứng cạnh nhau là bao nhiêu?

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Điểm $D$ nằm trong cạnh $AB$ và điểm $E$ nằm trong cạnh $BC$, sao cho $AC=CD$, $DE=EB$, $AC:DE=4:3$. Tìm tỉ số $AD:DB$.

Các số nguyên dương $a\ge b\ge c$ thỏa mãn $a^2-b^2-c^2+ab=2011$ và $a^2+3b^2+3c^2-3ab-2ac-2bc=-1997$. Tìm $a$.

Gọi $n$ là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn
$$n\gt 1000,\qquad \gcd(63,n+120)=21,\qquad \gcd(n+63,120)=60.$$
Tổng các chữ số của $n$ bằng bao nhiêu?

Rachel và Robert bắt đầu cùng lúc tại vạch xuất phát trên đường chạy tròn. Rachel chạy ngược chiều kim đồng hồ, một vòng hết $90$ giây; Robert chạy theo chiều kim đồng hồ, một vòng hết $80$ giây. Tại một thời điểm được chọn đều từ phút thứ $10$ đến phút thứ $11$ sau khi bắt đầu, một nhiếp ảnh gia chụp phần đường chạy dài $\dfrac14$ vòng, có tâm tại vạch xuất phát. Xác suất để cả hai xuất hiện trong ảnh là bao nhiêu?

Hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB=33$, $CD=21$, hai cạnh bên dài $10,14$, và góc $A,B$ nhọn. Đường chéo ngắn hơn dài bao nhiêu?

Hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn $\sqrt{\log_{10}a}+\sqrt{\log_{10}b}+\log_{10}\sqrt a+\log_{10}\sqrt b=100$. Cả bốn số hạng đều là số nguyên dương. Tìm $ab$.

Số nguyên dương $n$ thỏa mãn $110n^3$ có đúng $110$ ước dương. Số $81n^4$ có bao nhiêu ước dương?