AMC10 năm 2027 - Tự luyện tập Set 4

Hai điểm phân biệt $(\sqrt\pi,a)$ và $(\sqrt\pi,b)$ thuộc đồ thị $y^2+x^4=2x^2y+1$. Tìm $|a-b|$.

Các số $(47)_a$ và $(74)_b$ có cùng giá trị trong hệ thập phân, với $a,b$ là các cơ số nguyên dương hợp lệ. Giá trị nhỏ nhất của $a+b$ bằng bao nhiêu?

Tina chọn đều hai số khác nhau từ $\{1,2,3,4,5\}$. Sergio chọn độc lập và đều một số từ $\{1,2,\ldots,10\}$. Xác suất để số của Sergio lớn hơn tổng hai số của Tina là bao nhiêu?

Hai điểm $A,B$ trong mặt phẳng thỏa $AB=10$. Có bao nhiêu điểm $C$ trong mặt phẳng sao cho tam giác $ABC$ có chu vi $50$ và diện tích $100$?

Tìm tích tất cả các nghiệm thực của $\sqrt{5|x|+8}=\sqrt{x^2-16}$.

Số dư khi chia $2^{202}+202$ cho $2^{101}+2^{51}+1$ bằng bao nhiêu?

Một con ếch bắt đầu ở $(1,2)$. Mỗi bước, nó chọn độc lập và ngẫu nhiên một trong bốn hướng lên, xuống, trái, phải với xác suất bằng nhau, rồi nhảy $1$ đơn vị. Nó dừng ngay khi chạm một cạnh của hình vuông có các đỉnh $(0,0),(0,4),(4,4),(4,0)$. Xác suất để nó dừng trên một cạnh song song với trục tung là bao nhiêu?

Sáu lục giác đều bao quanh một lục giác đều cạnh $1$ như hình. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Số nguyên $m$ là số đối xứng có ba chữ số, còn $m+32$ là số đối xứng có bốn chữ số. Tìm tổng các chữ số của $m$.

Gọi $A$ là tập các số nguyên dương $n$ sao cho $n^2-19n+91$ là số chính phương. Tổng các phần tử của $A$ bằng bao nhiêu?

Đồng xu của Amelia có xác suất ra ngửa là $\dfrac13$, còn đồng xu của Blaine có xác suất ra ngửa là $\dfrac25$. Hai bạn luân phiên tung đồng xu của mình; người đầu tiên được mặt ngửa thắng. Các lần tung độc lập và Amelia tung trước. Xác suất Amelia thắng là $\dfrac pq$, trong đó $p,q$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính $q-p$.

Đoạn $AB$ là đường kính của một đường tròn và $AB=24$. Điểm $C$ khác $A,B$ di chuyển trên đường tròn. Trọng tâm $M$ của tam giác $ABC$ vạch ra một đường cong khép kín thiếu hai điểm. Diện tích miền được giới hạn bởi đường cong đó, làm tròn đến số nguyên gần nhất, bằng bao nhiêu?

Các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $|a-b|=2$, $|b-c|=3$, $|c-d|=4$. Tìm tổng tất cả các giá trị khác nhau mà $|a-d|$ có thể nhận.

Cho $f(x)=\lfloor|x|\rfloor-|\lfloor x\rfloor|$ với mọi $x\in\mathbb R$. Tập tất cả các giá trị mà $f(x)$ có thể nhận là tập nào?

Một hộp chứa năm lá bài: ba lá đỏ và hai lá trắng. Lấy ngẫu nhiên từng lá không hoàn lại, dừng ngay khi trong hộp chỉ còn một màu. Xác suất để lá cuối cùng được lấy có màu trắng là bao nhiêu?

Tam giác đều $ABC$ có cạnh $1$. Các hình vuông $ABDE$, $BCHI$, $CAFG$ được dựng phía ngoài tam giác. Tính diện tích lục giác $DEFGHI$.

Số thực $x$ thỏa mãn $\sqrt{49-x^2}-\sqrt{25-x^2}=3$. Tìm $\sqrt{49-x^2}+\sqrt{25-x^2}$.

Gọi $n$ là số nguyên dương có ba chữ số lớn nhất sao cho tổng $n$ số nguyên dương đầu tiên không phải là một ước của tích $n$ số đó. Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu?

Chọn đều một ước nguyên dương của $12!$. Xác suất để ước đó là số chính phương được viết thành $\dfrac mn$, với $m,n$ là số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính $m+n$.

Hình dưới đây có $13$ hình tròn bán kính $1$ nằm trong một hình tròn lớn. Các hình tròn chỉ gặp nhau tại những điểm tiếp xúc. Tính diện tích phần tô xám bên trong hình tròn lớn và bên ngoài $13$ hình tròn nhỏ.