IMC 2024 Lớp 8 — Vòng tuyển chọn

Các số nguyên khác $0$ là $a,b$ thỏa mãn $a^2b^2+a^2+b^2=628$. Tính $|a|+|b|$.

Bốn ô vuông trung tâm của bàn cờ $8\times8$ bị xóa như hình. Có thể đặt nhiều nhất bao nhiêu quân hậu trên $60$ ô còn lại sao cho không hai quân nào tấn công nhau? Mỗi quân hậu tấn công quân cờ gần nhất ở cùng hàng, cột hoặc đường chéo. Trong câu này, các ô bị xóa không được đặt quân nhưng không chặn đường tấn công.

Đức viết số tự nhiên $n$ có $100$ chữ số, không có chữ số $0$. Gọi $m$ là số tạo bởi $50$ chữ số đầu của $n$. Biết $n$ chia hết cho $m$, hỏi thương có bao nhiêu chữ số $0$?

Số thực dương $x$ thỏa mãn $\sqrt[3]{6+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{x}}=\sqrt[3]{3}$. Tìm $x$. Các căn bậc ba được hiểu là căn bậc ba thực.

Phép toán trên các số nguyên dương thỏa mãn $a\otimes a=a+2$, $a\otimes b=b\otimes a$ và $\frac{a\otimes(a+b)}{a\otimes b}=\frac{a+b}{b}$. Tính $8\otimes5$.

Phong gán bảy số không nhất thiết khác nhau thuộc $\{1,2,\ldots,269\}$ vào các chấm đen. Tích ba số trên mỗi đường thẳng hoặc đường tròn trong hình phải có cùng số dư khi chia cho $269$. Biết có sử dụng số $269$, hỏi phải dùng số đó ít nhất bao nhiêu lần?

$ABCD$ là hình vuông, $E$ thuộc đoạn $BC$, $F$ thuộc đoạn $ED$. Biết $DF=BF$, $EF=BE$, tính $\angle DFA$.

Có bao nhiêu số có bảy chữ số dùng mỗi chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ đúng một lần và có hai chữ số cạnh nhau luôn nguyên tố cùng nhau?

Đa thức $P(x)=x^2+5x-7$ có hai nghiệm $x_1,x_2$. Tính $A=x_1^3+5x_1^2-4x_1+x_1^2x_2-4x_2$.

Chọn năm mươi số nguyên phân biệt từ $\{1,2,\ldots,100\}$ có tổng $2900$. Có thể có ít nhất bao nhiêu số chẵn được chọn?

Có thể đặt nhiều nhất bao nhiêu mảnh có dạng như hình trên bảng ô vuông $10\times10$ mà không chồng nhau? Các mảnh được phép xoay và phủ trọn các ô vuông của bảng.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ sao cho $xy$ là số chính phương và $x^2+4y^2$ là số nguyên tố. Nhập cặp theo dạng $(x,y)$.

Có bao nhiêu cách chọn một cặp không thứ tự gồm hai đường chéo song song của một thập giác đều?

Có bao nhiêu bộ ba số nguyên có thứ tự $(a,b,c)$ thỏa mãn $a+b+c=70$, $ab+bc+ca=1633$?

Luffy và năm thuyền viên ngồi thành vòng tròn để chia $99$ đồng vàng. Luffy quyết định phần của mình và từng thuyền viên. Mỗi thuyền viên chỉ đồng ý khi nhận nhiều hơn từng người trong hai người bên cạnh. Luffy cần đa số trong năm thuyền viên đồng ý để sống sót. Luffy có thể nhận nhiều nhất bao nhiêu đồng? Các phần chia là số nguyên không âm; một người có thể nhận không đồng nào.

Các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $abcd=169$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=3(a^2+b^2+c^2)+a(b+c+d)+b(c+d)+cd$.

$ABCD$ là hình thang có hai đáy song song $AB,CD$ với $AB<CD$. Điểm $M$ là trung điểm $CD$; điểm $N$ nằm trong hình thang và thỏa mãn $AN=BC$, $BN=AD$. Biết $\angle AMB=90^\circ$, chứng minh hai tứ giác $ANMD$ và $BNMC$ có diện tích bằng nhau.

Tổng của $2023$ số hữu tỉ là một số nguyên và tích của hai số bất kỳ trong chúng cũng là một số nguyên. Chứng minh tất cả các số đã cho đều là số nguyên.