SMO 2016 - Open - Vòng 1

Trong đề này, $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Ví dụ, $[5]=5$, $[2.8]=2$, $[-2.3]=-3$.

Tam giác ABC có chu vi 48. D là trung điểm AB và DC=DA=10. Tìm diện tích tam giác CBD.

Một cấp số nhân vô hạn có số hạng đầu khác không và công bội $1/\sqrt[6]{2}$. Tổng n số hạng đầu bằng tổng tất cả số hạng còn lại. Tìm n.

Tìm hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x thỏa mãn $|x-2|-|x-2016|=2|x-1009|$.

Hình dưới là bảng chữ nhật 10 × 9. Mọi hình vuông nhỏ trong hình có cùng kích thước.



Tìm tổng số hình chữ nhật trong hình mà không phải hình vuông.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $$f(x)=\sqrt{x+25}+\sqrt{36-x}+\sqrt x.$$

Trong đề này, $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Ví dụ, $[5]=5$, $[2.8]=2$, $[-2.3]=-3$.

Gọi m là số tam giác có cạnh dài nhất bằng 2016 và hai cạnh còn lại cũng có độ dài nguyên. Tính $[m/1000]$.

(Chú ý: Hai tam giác bằng nhau được coi là cùng một tam giác.)

Trong đề này, $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Ví dụ, $[5]=5$, $[2.8]=2$, $[-2.3]=-3$.

Tính $[S/2]$, trong đó $$S=\frac 1{\sqrt 1}+\frac 1{\sqrt 2}+\cdots+\frac 1{\sqrt{100}}.$$

(Gợi ý: Chú ý rằng $\frac 2{\sqrt k+\sqrt{k+1}}\lt \frac 1{\sqrt k}\lt \frac 2{\sqrt k+\sqrt{k-1}}$.)

Tìm số nghiệm nguyên của $$\frac{\sqrt x}{\sqrt{2018-x}+\sqrt x}+\frac{\sqrt x}{\sqrt x-\sqrt{2018-x}}-\frac{1009}{x-1009}=1.$$

Cho $$S_N=\frac 11+\frac 1{1+2}+\frac 1{1+2+3}+\frac 1{1+2+3+4}+\cdots+\frac 1{1+2+3+\cdots+N}.$$ Tính $2017\times S_{2016}$.

Gọi i,j,k là ba vectơ đơn vị dọc theo ba trục vuông góc đôi một x,y,z; O là giao điểm ba trục. Tại thời điểm $t\ge 0$ sau khi thí nghiệm bắt đầu, máy bay đồ chơi A có vị trí trên đường $\mathbf r=\mathbf i+2\mathbf j+3\mathbf k+t(3\mathbf i+5\mathbf j+2\mathbf k)$, còn máy bay B có vị trí trên đường $\mathbf r=4\mathbf i+7\mathbf j+2\mathbf k+t(2\mathbf i+3\mathbf j+4\mathbf k)$. Nếu d là khoảng cách nhỏ nhất có thể giữa hai máy bay, hãy tìm d².

Gọi i,j,k là ba vectơ đơn vị dọc theo các trục vuông góc đôi một x,y,z; O là giao điểm ba trục. Gương phẳng trong không gian có phương trình $\mathbf r\cdot(\mathbf i+2\mathbf j+3\mathbf k)=5$. Một tia sáng đi theo đường $\mathbf r=5\mathbf i+2\mathbf j+\mathbf k+\lambda(5\mathbf i+\mathbf j)$, với λ thực. Tia gặp gương và phản xạ theo đường $\mathbf r=\mathbf j+\mathbf k+\mu(4\mathbf i+b\mathbf j+c\mathbf k)$, với μ thực. Giả sử tia tới, tia phản xạ và pháp tuyến tại điểm tới đồng phẳng, đồng thời tia tới và tia phản xạ tạo các góc bằng nhau với gương, hãy tính |b|+|c|.

Trong đề này, $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Ví dụ, $[5]=5$, $[2.8]=2$, $[-2.3]=-3$.

Cho $z=\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta^\circ}{\theta}$, hãy tính $\left[\frac{360 z}{\pi}\right]$.

Tìm số cách chọn bốn số nguyên phân biệt a,b,c,d từ {1,2,3,4,...,24} sao cho a>b>d>c và a+c=b+d.

Trong đề này, $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Ví dụ, $[5]=5$, $[2.8]=2$, $[-2.3]=-3$.

Giả sử $$f=\sqrt{3 a_1+1}+\sqrt{3 a_2+1}+\sqrt{3 a_3+1}+\cdots+\sqrt{3 a_{2016}+1}$$ với $a_1,a_2,\ldots,a_{2016}$ thực và $a_1+a_2+\cdots+a_{2016}=1$. Tìm giá trị lớn nhất của [f].

Cho p,q nguyên sao cho các nghiệm của đa thức $f(x)=x^3+px^2+qx-343$ đều thực. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $|p^2-2 q|$.

Cho đa thức $f(x)=x^{2016}+a_{2015}x^{2015}+a_{2014}x^{2014}+\cdots+a_1 x+a_0$ thỏa mãn f(i)=2 i -1 với mọi i=1,2,...,2015. Tính $f(0)+f(2016)-2016!$.

Tìm số nguyên tố lớn nhất p sao cho $p=a^b+7 b^a$ với a,b là số nguyên tố.

Tìm số dư khi $1\times 3\times 5\times\cdots\times 2017$ chia cho 1000.

Có bao nhiêu cách viết số $2017/2016$ thành tích hai phân số dạng $(a+2)/a$, với a nguyên dương? [Ở đây $\frac{a+2}{a}\frac{b+2}{b}$ và $\frac{b+2}{b}\frac{a+2}{a}$ được coi là cùng một tích.]

Trong tam giác ABC, $\angle B=90^\circ$ và $\angle C=60^\circ$. Các điểm D và E ở ngoài tam giác ABC sao cho BAD và ACE là các tam giác đều. Đoạn DE cắt đoạn AC tại F. Biết BC=10. Tìm độ dài AF.