MathNet 2020 — Math Olympiad Vault — Phần 05

Tìm mọi hàm liên tục $f:[e^{-2},e^2]\to\mathbb R$ sao cho
$$\int_{-2}^2\frac{f(e^{-x})}{\sqrt{1+e^x}}\,dx-\int_{-2}^2f(e^x)^2\,dx=\frac12.$$

(a) Tính $\int_1^2(1/x-\arcsin(1/x))\,dx$.
(b) So sánh $\pi/6$ và $\ln((2+\sqrt3)/2)$.

Cho $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$, $z_1z_2z_3\ne-1$. Chứng minh số sau là thực:
$$w=\frac{z_1+z_2+z_3+z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3}{1+z_1z_2z_3}.$$

Tìm mọi nguyên hàm trên $(1,\infty)$ của
$$f(x)=\frac{x}{\sqrt[4]{(x-1)^3(x+1)^5}}.$$

Cho hình hộp $ABCDA_1B_1C_1D_1$ có $\angle A_1AD=\angle A_1AB=\angle DAB=60^\circ$, $C_1A_1=\sqrt7$ cm, $C_1B=\sqrt{13}$ cm, $C_1D=\sqrt{19}$ cm. Tính khoảng cách từ $A$ tới mặt phẳng $A_1BD$.

Số nguyên lớn nhất $n$ để $\frac{50!}{2^n}$ là một số nguyên là bao nhiêu?

Cho $P(x)=x^3-2x+1$ và $Q(x)=x^3-4x^2+4x-1$. Chứng minh rằng nếu $P(r)=0$ thì $Q(r^2)=0$.

Cho hình vuông $ABCD$ và điểm $X$ bất kỳ trên cạnh $BC$, nằm giữa $B$ và $C$. Gọi $Y$ là điểm trên đường thẳng $CD$ sao cho $BX=YD$ và $D$ nằm giữa $C$ và $Y$. Chứng minh trung điểm của $XY$ nằm trên đường chéo $BD$.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $N$ thỏa mãn cả ba tính chất:
- $N$ chia cho $7$ dư $5$.
- $N$ chia cho $8$ dư $6$.
- $N$ chia cho $9$ dư $7$.

Bạn có vô hạn viên gạch hình vuông cạnh $1$ và viên gạch hình tam giác đều cạnh $1$. Với những giá trị nào của $n$, có thể dùng các viên gạch này để ghép thành một đa giác lồi $n$ cạnh? Các viên gạch phải ghép kín, không có khoảng trống và không chồng lên nhau.

Trên đường tròn bán kính $13$ có $13$ điểm được đánh dấu. Chứng minh rằng có thể chọn ba điểm trong số đó tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn $13$.

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $p^2-6$ và $p^2+6$ đều là số nguyên tố.

Cho hai đường tròn $\Gamma_1,\Gamma_2$ tiếp xúc trong tại $A$, với $\Gamma_1$ nằm trong $\Gamma_2$. Dây $BC$ của $\Gamma_2$ tiếp xúc với $\Gamma_1$ tại $D$. Chứng minh đường thẳng $AD$ là đường phân giác của $\angle BAC$.

Một dãy gồm các chữ $A,B$ được gọi là phản đối xứng nếu đọc ngược dãy rồi đổi mọi chữ $A$ thành $B$ và ngược lại sẽ thu được dãy ban đầu. Ví dụ $ABBAAB$ là một dãy phản đối xứng. Với mỗi dãy gồm các chữ $A,B$, định nghĩa chi phí là tích các vị trí chứa chữ $A$. Chẳng hạn dãy $ABBAAB$ có chi phí $1\cdot4\cdot5=20$. Tìm tổng chi phí của tất cả các dãy phản đối xứng độ dài $2020$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB\gt AC$. Gọi $P$ là chân đường cao từ $C$ xuống $AB$, và $Q$ là chân đường cao từ $B$ xuống $AC$. Gọi $X$ là giao điểm của $PQ$ và $BC$. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AXC$ và $PQC$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $C,Y$. Chứng minh $PY$ đi qua trung điểm của $AX$.

Josie và Ross chơi trên một bàn cờ $20\times20$, ban đầu không có quân. Hai người luân phiên đi, Josie đi trước. Trong lượt của mình, Josie chọn hai ô trống khác nhau và đặt một quân trắng vào mỗi ô. Trong lượt của mình, Ross chọn một quân trắng bất kỳ đang có trên bàn rồi thay bằng một quân đen. Nếu tại bất kỳ thời điểm nào có $8$ ô liên tiếp trên cùng một hàng ngang hoặc hàng dọc đều chứa quân trắng thì Josie thắng. Ross có thể ngăn Josie thắng, bất kể Josie chơi như thế nào, hay không?

Trên lưới ô vuông trong hình, hai hay nhiều giao điểm của các đường lưới được gọi là cách đều đối với một điểm cố định nếu khoảng cách từ chúng đến điểm đó bằng nhau. Ví dụ, $B$ và $C$ cách đều đối với $A$, nhưng $B$ và $D$ thì không.



a) Trên lưới sau, hãy đánh dấu các điểm có khoảng cách đến $J$ bằng khoảng cách từ $K$ đến $J$.



b) Nếu không yêu cầu các điểm phải là giao điểm của các đường lưới, tập hợp những điểm trong mặt phẳng lưới có khoảng cách đến $J$ bằng $JK$ tạo thành hình gì?

c) Nếu không yêu cầu các điểm phải nằm trong mặt phẳng lưới, tập hợp những điểm có khoảng cách đến $J$ bằng $JK$ tạo thành hình gì?

Tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn
$$
\frac{x+\sqrt{x+1}}{x-\sqrt{x+1}}=\frac{11}{5}
$$

Thầy M. A. Luco viết lên bảng biểu thức
$$
\frac{n^{2}-5 n+4}{n-4}
$$
Sau đó thầy nói rằng $n$ có thể là bất kỳ số tự nhiên nào, trừ $4$.

a) Biểu thức có giá trị bằng bao nhiêu khi $n=1$?

b) Marcos thay $n$ bằng một số tự nhiên và thấy giá trị biểu thức bằng $5$. Marcos đã thay bằng số nào?

c) Những số tự nhiên nào không thể là giá trị của biểu thức?

Trong hình thang $ABCD$, hai cạnh $AB$ và $CD$ song song. Gọi $M$ là trung điểm đường chéo $AC$, $N$ là trung điểm đường chéo $BD$ và $P$ là trung điểm cạnh $AB$. Biết $AB=15\ \mathrm{cm}$, $CD=24\ \mathrm{cm}$ và chiều cao hình thang là $h=14\ \mathrm{cm}$.

a) Tính độ dài đoạn $MN$.

b) Tính diện tích tam giác $MNP$.