2015 CIMC keystage3-IWYMIC team

Trong hình dưới đây, thay mỗi chữ bằng một số khác nhau trong các số $1,2,3,4,5,6,7,8$ và $9$, sao cho tổng bốn số quanh mỗi vòng tròn bằng số bên trong vòng tròn đó.

Tìm tổng của tất cả các số chính phương có bốn chữ số sao cho khi giảm mỗi chữ số đi cùng một lượng, số có bốn chữ số thu được vẫn là số chính phương. (Có thể dùng các lượng giảm khác nhau cho các số chính phương khác nhau.)

Một lục giác có sáu góc bằng $120^\circ$. Độ dài bốn cạnh liên tiếp là $2000$ cm, $2005$ cm, $2010$ cm và $2015$ cm. Tính chu vi lục giác, theo đơn vị cm.

Có một lưới $4\times4$ treo trên tường. Tìm số cách đặt hai quân đỏ giống nhau và hai quân xanh giống nhau vào bốn ô khác nhau của lưới sao cho không hàng hoặc cột nào có hai quân cùng màu.

Một bộ các số chính phương, được phép lặp lại, cần có ít nhất bao nhiêu phần tử để mọi số nguyên dương không quá $100$ đều biểu diễn được thành tổng của các số trong bộ? Một tổng cũng có thể chỉ gồm một số trong bộ.

Kelly chưa đến $100$ tuổi và Kerry lớn hơn $9$ tuổi. Nhân tuổi của Kelly với một phân số có mẫu số $999$ và tử số là một số có ba chữ số với chữ số hàng chục bằng $5$ thì được tuổi của Kerry. Có bao nhiêu giá trị có thể có của tuổi Kerry?

Trong hình dưới đây, mỗi lục giác chứa một trong các số $2,4,5,6,7,18,20$ và $36$. Mỗi số xuất hiện một lần, riêng $6$ xuất hiện hai lần. Mỗi mũi tên chứa một trong các phép toán $-1$, $\div2$, $+3$, $\times3$, $+4$, $\times4$, $\div9$ và $+16$. Mỗi phép toán xuất hiện một lần, riêng $-1$ xuất hiện hai lần. Hoàn thành sơ đồ sao cho áp dụng phép toán cho số trong lục giác trước mũi tên sẽ cho số trong lục giác sau mũi tên. Chú ý rằng có một lục giác không có mũi tên nào đi vào, trong khi một lục giác khác có hai mũi tên đi vào.

$M$ là điểm trên cạnh $AB$ của hình bình hành $ABCD$ sao cho $AM:MB=4:3$. $DM$ và $CM$ lần lượt vuông góc với $AC$ và $BD$. Nếu $BC=5$ cm, hãy tìm diện tích, theo đơn vị cm$^2$, của $ABCD$.

Tìm số lớn nhất có sáu chữ số, các chữ số đôi một khác nhau, là số chính phương và có các chữ số tăng dần từ trái sang phải.

Trong tứ giác lồi $ABCD$, $\angle DAC=\angle DCA=25^\circ$, $\angle BAC=85^\circ$ và $\angle ACB=30^\circ$. Tìm số đo, theo độ, của $\angle BDC$.