2015 CIMC keystage3-IWYMIC individual

Giả sử ta muốn điền các số nguyên từ $1$ đến $7$ vào $7$ vòng tròn nhỏ trong hình dưới đây sao cho tổng các số nằm trên mỗi đường tròn lớn hoặc cỡ vừa đều là bội của $6$. Phải điền số nào vào vòng tròn nhỏ ở tâm?

Các chữ số của số nguyên dương $a$ đôi một khác nhau. Số $b$ được tạo từ $a$ bằng cách sắp xếp lại các chữ số. Nếu mọi chữ số của hiệu $a-b$ đều là $1$, giá trị lớn nhất của hiệu này là bao nhiêu?

Số lớn nhất trong $21$ số nguyên khác nhau là $2015$, và một trong các số còn lại là $101$. Tổng của bất kỳ $11$ số nào trong chúng cũng lớn hơn tổng của $10$ số còn lại. Tìm số ở giữa, tức là số lớn hơn $10$ số khác và nhỏ hơn $10$ số còn lại.

Hình dưới đây gồm $26$ ô vuông bao quanh một ô khuyết màu đen. Có bao nhiêu hình chữ nhật khác nhau được ghép từ một số trong $26$ ô vuông này? Ô khuyết màu đen không được thuộc bất kỳ hình chữ nhật nào.

Một phần khoai tây được chở từ trang trại bằng xe tải với tốc độ $65$ km/h, còn phần còn lại được chở bằng xe bò với tốc độ $5$ km/h. Sau một lúc, một xe ngựa có tốc độ $13$ km/h nhận khoai tây từ xe tải, để xe tải quay lại nhận khoai tây từ xe bò. Việc chuyển khoai tây từ xe bò lên xe tải không mất thời gian. Xe ngựa và xe tải đến thành phố cùng lúc; thành phố cách trang trại $100$ km. Khoai tây đã ở trên đường trong bao nhiêu giờ?

Có bao nhiêu nghiệm nguyên dương $(x,y)$ của phương trình

$$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y}+\frac{1}{(x+1)y}=\frac{1}{2015}?$$

Trung điểm các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ của tứ giác lồi $ABCD$ cùng nằm trên một đường tròn. Nếu $AB=10$ cm, $BC=11$ cm và $CD=12$ cm, hãy xác định độ dài cạnh $DA$, tính bằng cm.



Hướng dẫn nhập đáp án: nhập giá trị chính xác; có thể viết căn bậc hai dưới dạng sqrt(...), không kèm đơn vị.

Ba số có hai chữ số $\overline{ab}$, $\overline{cd}$ và $\overline{ad}$ thỏa mãn $(\overline{ab})^2+(\overline{cd})^2=(\overline{ad})^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của số có bốn chữ số $\overline{abcd}$.

Mỗi viên gạch $1\times1$ có cạnh đỏ đối diện cạnh vàng và cạnh xanh lam đối diện cạnh xanh lục. Một bàn cờ $8\times8$ được ghép từ $64$ viên như vậy; từng viên có thể được xoay hoặc lật. Khi hai viên gặp nhau, hai cạnh tiếp giáp phải cùng màu. Có thể tạo ra bao nhiêu bàn cờ khác nhau? Không được xoay hay lật cả bàn cờ.

Tìm tổng của tất cả các số nguyên dương có thể biểu diễn dưới dạng $\sqrt{7p^n+9}$ với một số nguyên dương $n$ và một số nguyên tố $p$.

$ABCD$ là hình bình hành. $E$ là điểm trên đoạn $AB$ sao cho $\frac{AE}{EB}=\frac14$. $F$ là điểm trên đoạn $DC$, $AF$ và $DE$ cắt nhau tại $G$, còn $CE$ và $BF$ cắt nhau tại $H$. Nếu diện tích $ABCD$ bằng $1$ cm$^2$ và diện tích tam giác $BHC$ bằng $\frac18$ cm$^2$, hãy tìm, theo đơn vị cm$^2$, diện tích tam giác $ADG$.

Năm số nguyên dương khác nhau có tính chất: khi lấy bất kỳ hai số trong chúng, có thể lấy cùng một số hai lần, ta thu được đúng chín tổng khác nhau. Tìm số nguyên dương lớn nhất là ước của tổng mọi bộ năm số như vậy.

Tìm số lượng các số có năm chữ số là số chính phương và có hai chữ số cuối bằng nhau.

Một số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được chọn ngẫu nhiên từ $1,2,3,4,5,6,7,8$ và $9$, rồi sắp xếp theo thứ tự giảm dần. Số thứ hai được tạo theo cùng cách, nhưng không được dùng chữ số $9$. Xác suất để số thứ nhất lớn hơn hẳn số thứ hai là bao nhiêu?

$E$ và $N$ là các điểm trên các cạnh $DC$ và $DA$ của hình vuông $ABCD$ sao cho $AN:ND:DE=2:3:4$. Đường thẳng qua $N$ vuông góc với $BE$ cắt $BE$ tại $P$ và $BC$ tại $M$. $AC$ cắt $MN$ tại $O$ và cắt $BE$ tại điểm $S$. So với diện tích $ABCD$, diện tích tam giác $OPS$ bằng bao nhiêu phần?