Trong bảng $9\times9$ ở hình dưới đây, một số ô được tô xám. Đánh dấu “X” vào $9$ ô sao cho mỗi hàng, mỗi cột và mỗi bảng con trong chín bảng con $3\times3$ được xác định bởi các đường đôi đều có một ô được đánh dấu. Không được đánh dấu vào ô tô xám.
Một tờ giấy $14\times23$ được chia bằng các đường lưới thành các ô vuông $1\times1$. Ta muốn cắt ra các mảnh giấy hình vuông có kích thước khác nhau theo các đường lưới. Có thể thu được nhiều nhất bao nhiêu mảnh? Chứng minh không thể có số lượng lớn hơn và đưa ra một ví dụ cho thấy đạt được đáp án của em.
Có một máy với năm khe. Mỗi khe có thể nhận hai thẻ làm đầu vào và trong phần lớn trường hợp sẽ tạo ra một thẻ mới làm đầu ra. Mọi thẻ đều mang số nguyên dương. Đầu ra của các khe $+,-,\times$ hoặc $\div$ lần lượt là tổng, hiệu, tích hoặc thương. Nếu hiệu hoặc thương không phải số nguyên dương thì không có đầu ra. Đầu ra của khe $\sim$ là số nhận được bằng cách viết số đầu vào thứ hai ngay sau số đầu vào thứ nhất. Ví dụ, ta được $102$ nếu đưa vào $10$ và $2$, hoặc $210$ nếu đưa vào $2$ và $10$. Tất cả thẻ đầu vào đều được trả lại. Bắt đầu với hai thẻ mang số $1$ và $2$, hãy tìm một cách tạo ra thẻ mang số $2015$ bằng cách chỉ dùng máy năm lần. Mỗi lần dùng một khe được tính là một phép toán riêng.
Trong mỗi hàng của mẫu trả lời năm hàng, ghi hai thẻ đầu vào, khe và thẻ đầu ra.
Hai mươi con thỏ nhảy dọc cùng một đường theo cùng một hướng, mỗi con có một tốc độ không đổi khác nhau. Con thứ nhất rời điểm xuất phát lúc giữa trưa. Mỗi con còn lại xuất phát sau con ngay trước nó một phút. Con thứ hai đuổi kịp con thứ nhất hai phút sau khi nó bắt đầu nhảy. Con thứ ba đuổi kịp con thứ hai ba phút sau khi nó bắt đầu nhảy. Quy luật tiếp tục như vậy, nên con thứ hai mươi đuổi kịp con thứ mười chín hai mươi phút sau khi nó bắt đầu nhảy. Con thứ hai mươi đuổi kịp con thứ nhất vào thời điểm bao nhiêu phút sau giữa trưa?
Hình dưới đây gồm mười hình tròn, mỗi hình có bán kính dài $1$ cm. Bốn hình tròn ở hàng trước tiếp xúc với các hình bên cạnh và có tâm nằm trên cùng một đường thẳng. Với mỗi hình trong sáu hình tròn phía sau, nửa đường tròn phía trên đi từ điểm cao nhất của một hình tròn đến điểm cao nhất của hình tròn kế bên trong hàng ngay trước nó. Tính diện tích hình, theo cm$^2$, không tính bốn hình tròn ở hàng trước. Có thể lấy $\pi$ bằng $3.14$.
Một câu lạc bộ quần vợt có sáu cầu thủ được đánh số từ $1$ đến $6$. Hai người sẽ được chọn đại diện câu lạc bộ tham gia một giải đấu. Năm trợ lý huấn luyện viên đưa ra các đề cử sau: “#$4$ và #$5$”, “#$3$ và #$6$”, “#$5$ và #$6$”, “#$2$ và #$5$” và “#$1$ và #$3$”. Huấn luyện viên trưởng không chọn người nào trong hai cầu thủ do một trợ lý đề cử, đồng thời chọn đúng một cầu thủ từ đề cử của mỗi người trong bốn trợ lý còn lại. Hai cầu thủ được chọn là ai?
Các số $2,3,4,5,6,7,8$ và $9$ được chia thành bốn cặp sao cho tổng hai số trong mỗi cặp là số nguyên tố. Có bao nhiêu cách khác nhau để chia các số đó thành bốn cặp?
Một số có ba chữ số không chứa chữ số $9$. Khi mỗi chữ số được tăng thêm $1$, tích các chữ số của số mới bằng ba lần tích các chữ số của số ban đầu. Có bao nhiêu số như vậy?
