IMC 2000 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi đội

$E$ là trung điểm cạnh $BC$ của hình vuông $ABCD$. Điểm $H$ nằm trên $AE$ với $BE=EH$, điểm $X$ nằm trên $AB$ với $AH=AX$. Chứng minh $AB\cdot BX=AX^2$.

Bốn số nguyên không âm đã được điền vào bảng $5\times5$ dưới đây. Điền số nguyên dương vào $21$ ô còn lại sao cho tổng mỗi hàng và mỗi cột đều bằng nhau.

Với $n\ge1$, đặt $a_n=1000+n^2$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $\gcd(a_n,a_{n+1})$.

Năm giáo viên dự đoán thứ hạng của năm lớp $A,B,C,D,E$ trong một kỳ thi như bảng dưới. Không có đồng hạng. Có hai giáo viên, mỗi người đoán đúng chính xác thứ hạng của hai lớp; ba giáo viên còn lại đoán sai thứ hạng của tất cả các lớp. Tìm thứ tự xếp hạng.

| Giáo viên | Thứ nhất | Thứ hai | Thứ ba | Thứ tư | Thứ năm |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | A | B | C | D | E |
| 2 | E | D | A | B | C |
| 3 | E | B | C | D | A |
| 4 | C | E | D | A | B |
| 5 | E | B | C | A | D |

Tìm mọi bộ ba số nguyên dương $(a,b,c)$ với $a\le b\le c$ và $(1+\frac1a)(1+\frac1b)(1+\frac1c)=2$.

Có $50$ mảnh bìa hình vuông và $50$ mảnh bìa hình tam giác đều, đều có cạnh $1$ cm. Dùng các mảnh làm mặt để dựng một tập hợp các khối đa diện lồi khác nhau. Hai khối có cùng số đỉnh, số cạnh, số mặt vuông và số mặt tam giác không được coi là khác nhau. Hãy dùng nhiều nhất có thể trong $100$ mảnh.