IMC 2000 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi cá nhân

Tìm chữ số hàng đơn vị của $17^{2000}$.

Tổng của bốn trong sáu phân số $\frac13,\frac16,\frac19,\frac1{12},\frac1{15},\frac1{18}$ bằng $\frac23$. Tìm tích của hai phân số còn lại.

Tìm bội lẻ có ba chữ số nhỏ nhất của $11$ mà chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng đơn vị.

Tính tổng tất cả các số nguyên giữa $150$ và $650$ có số dư $4$ khi chia cho $10$.

Tìm thương khi chia số có bốn nghìn chữ số, gồm hai nghìn chữ số một rồi đến hai nghìn chữ số hai, cho số có hai nghìn chữ số đều bằng $6$.

Cho $p,q$ là hai số nguyên tố khác nhau với $p+q=192$. Nếu $2p-q$ lớn nhất có thể, giá trị của $p+q$ là bao nhiêu?

Tìm số đo $\angle BAD$ theo độ, biết $D$ nằm trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$, $AC=CD$ và $\angle CAB=\angle ABC+45^\circ$.

Cho $a,b,c,d,e$ là các chữ số. Bình phương của số có mười lăm chữ số $100000035811ab1$ là số có hai mươi chín chữ số $1000000cde2247482444265735361$. Tìm $a+b+c-d-e$.

$P$ nằm trong hình chữ nhật $ABCD$. Biết $PA=4$ cm, $PB=6$ cm và $PD=9$ cm. Tính $PC$ theo xentimét.

Trên thang Celsius, nước đóng băng ở $0^\circ$ và sôi ở $100^\circ$. Trên thang Sulesic, nước đóng băng ở $20^\circ$ và sôi ở $160^\circ$. Tìm nhiệt độ theo thang Sulesic tương ứng với $215^\circ$ Celsius.

Các đỉnh của một hình vuông đều nằm trên một đường tròn. Hai đỉnh kề nhau của hình vuông thứ hai nằm trên đường tròn ấy, còn hai đỉnh kia nằm trên một đường kính. Tìm tỷ số diện tích hình vuông thứ hai và hình vuông thứ nhất.

Mười số nguyên dương được viết thành một hàng. Tổng của ba số liên tiếp bất kỳ bằng $20$. Số đầu tiên là $2$, số thứ chín là $8$. Tìm số thứ năm.

$E$ nằm trên cạnh $AB$, $F$ nằm trên cạnh $CD$ của hình vuông $ABCD$. Gấp hình vuông theo $EF$ thì vị trí mới $A^\prime$ của $A$ nằm trên $BC$. Gọi $D^\prime$ là vị trí mới của $D$, $G$ là giao điểm của $CF$ và $A^\prime D^\prime$. Chứng minh $A^\prime E+FG=A^\prime G$.

Hai mươi số nguyên dương phân biệt được viết lên hai mặt của mười tấm thẻ, mỗi mặt một số. Tổng hai số trên mỗi thẻ bằng nhau ở tất cả các thẻ. Tổng mười số ở mặt trước bằng tổng mười số ở mặt sau. Chín số ở mặt trước là $2,5,17,21,24,31,35,36,42$. Tìm số ở mặt trước của thẻ còn lại.

Hai số có ba chữ số $a,b$ và số có bốn chữ số $c$ thỏa mãn tổng chữ số của mỗi số $a+b,b+c,c+a$ đều bằng $3$. Tìm tổng chữ số lớn nhất có thể của $a+b+c$.