IMC 1999 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi đội

(a) Phân tích $9^8+7^6+5^4+3^2+1$ thành thừa số nguyên tố.

(b) Tìm hai ước nguyên tố khác nhau của $2^{30}+3^{30}$.

Các lá bài mang số $1,3,\ldots,2n-1$. Ở bước thứ $k$, $1\le k\le n$, chuyển lần lượt $2k-1$ lá từ đỉnh xuống đáy bộ bài. Khi đó lá trên cùng cần mang số $2k-1$, và được lấy ra. Sau $n$ bước, các lá được lấy ra theo thứ tự tăng dần. Ban đầu cần xếp bộ bài thế nào nếu (a) $n=10$; (b) $n=30$?

(a) Biểu diễn $1$ thành tổng nghịch đảo của các số nguyên phân biệt, trong đó có số $5$.

(b) Biểu diễn $1$ thành tổng nghịch đảo của các số nguyên phân biệt, trong đó có số $1999$.

(a) Chỉ ra cách chia một hình vuông thành $1999$ hình vuông, có thể khác kích thước.

(b) Cắt hai hình đầu tiên dưới đây thành tổng cộng không quá mười mảnh, rồi ghép các mảnh thành hình thứ ba.

Điền các số $1,2,3,4,5$ vào bảng $5\times5$ sao cho mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo chính có đúng một số mỗi loại. Điểm của bảng là tổng các số trong bốn ô tô đậm. Điểm lớn nhất có thể là bao nhiêu?