USAMO 2005 — Ngày 1 và Ngày 2 Câu hỏi 6

Với số nguyên dương $m$, gọi $s(m)$ là tổng các chữ số thập phân của $m$. Tập $S$ gồm các số nguyên dương gọi là $k$-ổn định nếu $s(\sum_{x\in X}x)=k$ với mọi tập con không rỗng $X\subseteq S$. Với mỗi số nguyên $n\ge2$, gọi $f(n)$ là số $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập $k$-ổn định có $n$ phần tử. Chứng minh tồn tại các hằng số $0<C_1<C_2$ sao cho $$C_1\log_{10}n\le f(n)\le C_2\log_{10}n.$$

Tác giả đề bài: Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu (theo nguồn được cung cấp).