Trong tam giác $ABC$, đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh $A$, tâm $I$, tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. (Đường tròn còn tiếp xúc với phần kéo dài của các cạnh $AB,AC$.) Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $AD$. Chứng minh $I,M,N$ thẳng hàng.
Một số đĩa tròn màu xanh lam và đỏ có cùng kích thước được xếp sát nhau thành hình tam giác. Tầng trên cùng có một đĩa và mỗi tầng dưới có nhiều hơn tầng ngay trên một đĩa. Mỗi đĩa không ở tầng đáy tiếp xúc với hai đĩa bên dưới; nó có màu xanh lam nếu hai đĩa đó cùng màu, và có màu đỏ nếu chúng khác màu.
Giả sử tầng đáy có 2048 đĩa, trong đó 2014 đĩa đỏ. Đĩa trên cùng có màu gì?
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $$x_n=p_1+\cdots+p_n,$$ trong đó $p_1,\ldots,p_n$ là $n$ số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại số nguyên $k_n$ sao cho $x_n\lt k_n^2\lt x_{n+1}$.
Alice và Bob chơi một trò chơi số. Bắt đầu từ số nguyên dương $n$, hai người luân phiên thay đổi số hiện tại, Alice đi trước. Ở mỗi lượt, người chơi có thể thay số $k$ bằng $k-1$ hoặc $\lceil k/2\rceil$. Người thay số1 thành0 thắng. Xác định mọi $n$ để Alice có chiến lược thắng. (Với số thực $x$, số nguyên trần $\lceil x\rceil$ là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $x$.)